[ 2 pontos] Suponha que X seja uma variável aleatória uniformemente distribuída entre (2,4). Ache a função densidade de probabilidade para W=6 X+8.

Passo 1

O enunciado diz que X é uniforme no intervalo (2,4) e define a transformação W = 6X + 8. O conteúdo aqui é “transformação de variável contínua” para achar a densidade de W, usando a fórmula
f_W(w) \;=\; f_X\bigl(g^{-1}(w)\bigr)\,\biggl|\frac{d}{dw}g^{-1}(w)\biggr|
onde g(x)=6x+8.

Passo 2

Como X é uniforme em (2,4), sua densidade é constante
f_X(x) = \frac{1}{4-2} = \frac12,\quad 2 < x < 4,
e zero fora desse intervalo.

Passo 3

Determinar o suporte de W: nos extremos de X temos
W_{\min}=6\cdot2+8=20,\qquad W_{\max}=6\cdot4+8=32.
Logo W varia em (20,32).

Passo 4

Inverter a transformação:
w = 6x+8 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{w-8}{6}.
O valor absoluto da derivada é
\Bigl|\tfrac{d}{dw}\bigl(\tfrac{w-8}{6}\bigr)\Bigr| = \frac16.

Passo 5

Aplicando a fórmula de transformação: para 20<w<32,
f_W(w) = f_X\!\bigl(\tfrac{w-8}{6}\bigr)\times\frac16 = \frac12\times\frac16 = \frac1{12}.
Fora desse intervalo, f_W(w)=0.

Resposta

f_W(w) = \begin{cases} \dfrac1{12}, & 20 < w < 32,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Exercícios relacionados