Calcule as seguintes integrais usando o método da substituição:
integral tg t sec ^2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de tg t cdot sec^2 t usando o método da substituição. Estamos trabalhando com cálculo integral aqui, e para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método da substituição. É uma técnica usada para simplificar integrais complexas, mudando a variável de integração para uma nova variável que torna a integral mais fácil de resolver. Basicamente, escolhemos uma parte da integral para substituir por uma nova variável, simplificamos a expressão e então integramos.

Passo 3

Olhando para a nossa integral, temos tg t cdot sec^2 t. Vamos escolher uma função dentro da integral para ser nossa substituição. Observando as funções trigonométricas, sabemos que a derivada de tg t é sec^2 t. Isso sugere que podemos fazer uma substituição onde u = tg t.

Passo 4

Agora, vamos definir nossa substituição:
u = tg t
Em seguida, encontramos a derivada de u em relação a t para substituir dt:
dudt = sec^2 t Rightarrow du = sec^2 t , dt
Perceba que sec^2 t , dt aparece na nossa integral original, o que simplifica bastante a substituição.

Passo 5

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral tg t cdot sec^2 t , dt = integral u , du
Agora, essa nova integral é bem mais simples de resolver. A integral de u , du é:
integral u , du = u^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u = tg t de volta na expressão:
u^22 + C = (tg t)^22 + C

Resposta

A integral integral tg t cdot sec^2 t , dt é igual a (tg t)^22 + C, onde C é a constante de integração.

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