Calcule as seguintes integrais usando o método da substituição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de
usando o método da substituição. Estamos trabalhando com cálculo integral aqui, e para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método da substituição. É uma técnica usada para simplificar integrais complexas, mudando a variável de integração para uma nova variável que torna a integral mais fácil de resolver. Basicamente, escolhemos uma parte da integral para substituir por uma nova variável, simplificamos a expressão e então integramos.
Passo 3
Olhando para a nossa integral, temos
. Vamos escolher uma função dentro da integral para ser nossa substituição. Observando as funções trigonométricas, sabemos que a derivada de
é
. Isso sugere que podemos fazer uma substituição onde
.
Passo 4
Agora, vamos definir nossa substituição:
Em seguida, encontramos a derivada de
em relação a
para substituir
:
Perceba que
aparece na nossa integral original, o que simplifica bastante a substituição.
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, temos:
Agora, essa nova integral é bem mais simples de resolver. A integral de
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, voltamos à variável original substituindo
de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.