Calcule as seguintes integrais usando o método da substituição:
integral(1+5x)^-3 cdot d xx^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a seguinte integral usando o método da substituição:
integral (1+5x)^-3 cdot dxx^2
Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente utilizando substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar escolher uma parte da expressão para substituir por uma variável mais simples, o que vai tornar a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir. Observando a integral:
(1+5x)^-3 cdot 1x^2
Parece complicado, mas uma boa estratégia é escolher o que está dentro do parêntese para a substituição. Então, vamos definir:
u = 1 + 5x

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x , ou seja, dudx . Vamos derivar u :
dudx = ddx(1 + 5x) = 0 - 5x^2 = -5x^2

Passo 4

O próximo passo é resolver essa expressão para dx :
dudx = -5x^2 Rightarrow dx = -x^25 du

Passo 5

Agora, vamos substituir u e dx na integral original. Substituindo, temos:
integral (1+5x)^-3 cdot 1x^2 dx = integral u^-3 cdot (-x^25) du
Simplificando os termos:
= -15 integral u^-3 du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^-3 em relação a u . A integral de u^n é u^n+1n+1 , desde que n neq -1 . Então:
-15 integral u^-3 du = -15 cdot u^-2-2 + C = 110 u^-2 + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos voltar para a variável original x substituindo u de volta:
u = 1 + 5x Rightarrow u^-2 = (1 + 5x)^-2
Então, nossa expressão fica:
110 (1 + 5x)^-2 + C

Resposta

A integral resulta em:
110 (1 + 5x)^-2 + C

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