[2,5 pontos] Usando o método da separação de variáveis, mostre que o PVI genérico
tem como solução a função
. Em particular encontre a solução do PVI
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária do primeiro grau com condição inicial. O enunciado pede pra usar o método da separação de variáveis, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação. A equação é:
com a condição inicial
.
Vamos precisar entender como separar as variáveis
e
nessa equação para poder integrá-las e achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Começamos movendo o termo
para o outro lado da igualdade:
Agora, lembrando que
é a derivada de
em relação a
, podemos reescrever a equação como:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Assim, conseguimos separar as variáveis, deixando todas as expressões em
de um lado e as de
do outro.
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos agora integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar a esquerda em relação a
e a direita em relação a
:
Lembrando das integrais básicas, sabemos que:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Depois de integrar, igualamos as duas expressões e combinamos as constantes:
Onde
é uma constante geral. Podemos simplificar multiplicando todos os termos por
:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Passo 7
Substituímos
de volta na expressão de
:
Vamos reorganizar para tornar mais claro:
Resposta
A solução da equação diferencial dada pelo método da separação de variáveis é:
E, no caso específico com condição inicial
, temos: