[2,5 pontos] Usando o método da separação de variáveis, mostre que o PVI genérico
y^prime(t)+2 t(y(t))^2 & equiv 0 y(to) & =yo
tem como solução a função y(t) equiv yo1+yo(t^2-to^2). Em particular encontre a solução do PVI ly^prime(t)+2 t(y(t))^2 equiv 0 y(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária do primeiro grau com condição inicial. O enunciado pede pra usar o método da separação de variáveis, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação. A equação é:
y^prime(t) + 2t , y(t)^2 = 0
com a condição inicial y(t0) = y0 .
Vamos precisar entender como separar as variáveis y e t nessa equação para poder integrá-las e achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para separar os termos que envolvem y dos que envolvem t . Começamos movendo o termo 2t , y^2 para o outro lado da igualdade:
y^prime(t) = -2t , y(t)^2
Agora, lembrando que y^prime(t) é a derivada de y em relação a t , podemos reescrever a equação como:
dydt = -2t , y^2

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e t . Para isso, dividimos ambos os lados por y^2 e multiplicamos por dt :
1y^2 , dy = -2t , dt
Assim, conseguimos separar as variáveis, deixando todas as expressões em y de um lado e as de t do outro.

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos agora integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar a esquerda em relação a y e a direita em relação a t :
integral 1y^2 , dy = integral -2t , dt
Lembrando das integrais básicas, sabemos que:
integral 1y^2 , dy = -1y + C1
integral -2t , dt = -t^2 + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 5

Depois de integrar, igualamos as duas expressões e combinamos as constantes:
-1y = -t^2 + C
Onde C = C2 - C1 é uma constante geral. Podemos simplificar multiplicando todos os termos por -1 :
1y = t^2 - C

Passo 6

Agora, resolvemos para y :
y = 1t^2 - C
Para encontrar a constante C , usamos a condição inicial y(t0) = y0 :
y0 = 1t0^2 - C
Resolvendo para C :
C = t0^2 - 1y0

Passo 7

Substituímos C de volta na expressão de y :
y = 1t^2 - ( t0^2 - 1y0 ) = 1t^2 - t0^2 + 1y0
Vamos reorganizar para tornar mais claro:
y = 11y0 + t^2 - t0^2 = y01 + y0 (t^2 - t0^2)

Resposta

A solução da equação diferencial dada pelo método da separação de variáveis é:
y(t) = y01 + y0 ( t^2 - t0^2 )
E, no caso específico com condição inicial y(0) = 1 , temos:
y(t) = 11 + t^2

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