Seja S a esfera x^2+y^2+z^2=1. Usando o Teorema de Gauss, calcule a integral integral duplaS((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) d S.
Escolha uma opção:
a) 10 pi
b) 6 pi
c) 8 pi
d) 4 pi
e) 12 pi

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
integral duplaSl((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2r),dS
sobre a esfera unitária S:;x^2+y^2+z^2=1.
O conteúdo principal é usar o Teorema de Gauss (ou Divergência) para transformar essa integral de superfície numa integral de volume.

Passo 2

Escolhemos um campo vetorial F:R^3toR^3 tal que
F(x,y,z) =l(f(x,y,z)r),(x,y,z),
onde
f(x,y,z)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2
Na esfera unitária, o vetor normal unitário é n=(x,y,z), logo
Fcdotn =f(x,y,z),(x,y,z)cdot(x,y,z) =f(x,y,z),
Assim
integral duplaSf,dS =integral duplaSFcdotn,dS

Passo 3

Pelo Teorema de Gauss,
integral duplaSFcdotn,dS =integral triplaVnablacdotF,dV,
onde V é a bola unitária.

Passo 4

Calculamos nablacdotF. Como
F(x,y,z)=(f,x,f,y,f,z),
nablacdotF =partialpartial x(f,x) +partialpartial y(f,y) +partialpartial z(f,z) =xpartial fpartial x +ypartial fpartial y +zpartial fpartial z +3f
Mas f é homogênea de grau 2, então
xpartial fpartial x +ypartial fpartial y +zpartial fpartial z =2f
Logo
nablacdotF=2f+3f=5f

Passo 5

Portanto
integral duplaSf,dS =integral triplaV5f,dV =5integral triplaVf,dV
Para simplificar f, note que
f =2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx) =2r^2-2(xy+yz+zx)
No volume da bola unitária, por simetria integral triplaVxy,dV=0 (e o mesmo para yz e zx), então
integral triplaVf,dV =2integral triplaVr^2,dV =2l(4piintegral0^1r^4drr) =2cdot4picdot15 =8pi5

Passo 6

Finalmente
integral duplaSf,dS =5cdot8pi5 =8pi

Resposta

c) 8pi

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