Seja
a esfera
. Usando o Teorema de Gauss, calcule a integral
.
Escolha uma opção:
a)
b)
c)
d)
e)
Escolha uma opção:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
sobre a esfera unitária
.
O conteúdo principal é usar o Teorema de Gauss (ou Divergência) para transformar essa integral de superfície numa integral de volume.
O conteúdo principal é usar o Teorema de Gauss (ou Divergência) para transformar essa integral de superfície numa integral de volume.
Passo 2
Escolhemos um campo vetorial
tal que
onde
Na esfera unitária, o vetor normal unitário é
, logo
Assim
Passo 3
Pelo Teorema de Gauss,
onde
é a bola unitária.
Passo 4
Calculamos
. Como
,
Mas
é homogênea de grau 2, então
Logo
Passo 5
Portanto
Para simplificar
, note que
No volume da bola unitária, por simetria
(e o mesmo para
e
), então
Passo 6
Finalmente
Resposta
c)