[2,5 pontos] Utilizando a fórmula (3) mostre que a solução do PVI
é dada por
.
Passo 1
O enunciado dá o PVI
que é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver usamos a fórmula do fator integrante: se a EDO é
, então
.
Passo 2
Identificamos
. Calculamos o fator integrante
Passo 3
Multiplicando a EDO original por
obtemos
que é exatamente a derivada do produto
. Logo
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo fica
. No direito, como
, temos
Portanto
Passo 5
Impondo a condição inicial
, obtemos
logo
Passo 6
Substituindo
em
e isolando
: