[2,5 pontos] Utilizando a fórmula (3) mostre que a solução do PVI ly^prime(t)+3 t^2 y(t) equiv t^2 y(0)=23 é dada por y(t)=13(1+e^-t^3).

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y'(t) + 3t^2,y(t) = t^2, y(0)=tfrac23,
que é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver usamos a fórmula do fator integrante: se a EDO é y'+p(t)y=g(t), então mu(t)=e^integral p(t),dt.

Passo 2

Identificamos p(t)=3t^2. Calculamos o fator integrante
mu(t)=e^integral 3t^2,dt=e^t^3

Passo 3

Multiplicando a EDO original por mu(t) obtemos
e^t^3y'(t) + 3t^2,e^t^3y(t) = t^2,e^t^3,
que é exatamente a derivada do produto (e^t^3y(t))'. Logo
l(e^t^3y(t)r)'=t^2,e^t^3

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral l(e^t^3y(t)r)' ,dt = integral t^2,e^t^3,dt
No lado esquerdo fica e^t^3y(t). No direito, como ddt(t^3)=3t^2, temos
integral t^2,e^t^3,dt = 13e^t^3 + C
Portanto
e^t^3y(t)=13e^t^3+C

Passo 5

Impondo a condição inicial y(0)=tfrac23, obtemos
e^0,y(0)=y(0)=tfrac23=13e^0+C=13+C
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C=tfrac23-tfrac13=tfrac13

Passo 6

Substituindo C=tfrac13 em e^t^3y(t)=tfrac13e^t^3+tfrac13 e isolando y(t):
y(t)=tfrac13e^t^3+tfrac13e^t^3 =tfrac13+tfrac13e^-t^3 =tfrac13l(1+e^-t^3r)

Resposta

y(t)=13l(1+e^-t^3r)

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