pontos
Mostre usando o método da equação diferencial exata que o PVI:
tem como solução
com domínio, Dom
.
Passo 1
O enunciado apresenta o PVI
com condição inicial
.
O objetivo é mostrar que esta equação pode ser tratada como uma equação diferencial exata, encontrar sua função potencial e, a partir daí, obter a solução que satisfaça a condição inicial.
O objetivo é mostrar que esta equação pode ser tratada como uma equação diferencial exata, encontrar sua função potencial e, a partir daí, obter a solução que satisfaça a condição inicial.
Passo 2
Reescrevendo a equação em forma diferencial, temos
Esta é uma forma diferencial
com
Como
a forma é exata.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
, obtemos
onde
é função a determinar. Para satisfazer
, calculamos
Logo, desprezando a constante no início,
Passo 4
A condição de exatidão implica
Usando
, vemos que
Multiplicando por 2, obtemos a solução implícita
Passo 5
Da relação
, extraímos
Para satisfazer
, escolhemos o sinal positivo:
Para manter o argumento da raiz não negativo e garantir
nos extremos (onde a derivada explodiria), o domínio maximal é
Resposta
A solução do PVI é
com
.