[2,5 pontos ] Mostre usando o método da equação diferencial exata que o PVI:
ly(t) y^prime(t)+t equiv 0 y(0)=1 tem como solução y(t)=raiz1-t^2 com domínio, Dom y=(-1,1).

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
y(t),y'(t) + t = 0,
com condição inicial y(0)=1.
O objetivo é mostrar que esta equação pode ser tratada como uma equação diferencial exata, encontrar sua função potencial e, a partir daí, obter a solução que satisfaça a condição inicial.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma diferencial, temos
y,dydt + t = 0 Longrightarrow y,dy + t,dt = 0
Esta é uma forma diferencial
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0
com
M(t,y)=t, N(t,y)=y
Como
partial Mpartial y = 0 e partial Npartial t = 0,
a forma é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial Psi(t,y) tal que
partial Psipartial t = M(t,y)=t, partial Psipartial y = N(t,y)=y
Integrando partialPsi/partial t = t em relação a t, obtemos
Psi(t,y) = t^22 + h(y),
onde h é função a determinar. Para satisfazer partialPsi/partial y=y, calculamos
partial Psipartial y = h'(y) = y Longrightarrow h(y) = y^22 + const
Logo, desprezando a constante no início,
Psi(t,y) = t^22 + y^22

Passo 4

A condição de exatidão implica
dPsi = 0 Longrightarrow t^22 + y^22 = C
Usando y(0)=1, vemos que
0^22 + 1^22 = C Longrightarrow C = 12
Multiplicando por 2, obtemos a solução implícita
t^2 + y^2 = 1

Passo 5

Da relação y^2 = 1 - t^2, extraímos
y(t) = pmraiz1 - t^2
Para satisfazer y(0)=1>0, escolhemos o sinal positivo:
y(t) = raiz1 - t^2
Para manter o argumento da raiz não negativo e garantir yneq0 nos extremos (onde a derivada explodiria), o domínio maximal é
Domy = (-1,1)

Resposta

A solução do PVI é
y(t) = raiz1 - t^2,
com Domy = (-1,1).

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