Considere a região
do primeiro quadrante limitada pelas curvas
e
.
Expresse, por meio de uma integral, o volume do sólido
obtido pela rotação da região
em torno do eixo
, seja pelo método das cascas ou das fatias. Não é necessário calcular a integral.
Expresse, por meio de uma integral, o volume do sólido
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região no primeiro quadrante, limitada pelas curvas
e
, em torno do eixo
. A gente vai usar cálculo integral para resolver isso, especificamente os métodos das cascas ou das fatias. Vamos precisar entender um pouco sobre integração e geometria de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Igualando
:
Então, a região
vai de
até
.
Passo 3
Agora, vamos escolher o método que vamos usar. Vou explicar os dois rapidamente:
-
Método das Fatias (Método dos Discos ou Anéis): Aqui, a gente corta o sólido em fatias perpendiculares ao eixo de rotação (no caso, ao eixo
). Cada fatia forma um disco (se tiver apenas uma curva) ou um anel (se tiver duas curvas). -
Método das Cascas Cilíndricas: Nesse método, a gente corta a região em fatias verticais paralelas ao eixo de rotação, formando cascas cilíndricas.
Vou optar pelo Método das Fatias porque geralmente é mais direto para rotações ao redor do eixo
.
Passo 4
No Método das Fatias, o volume
do sólido de rotação é dado pela integral do volume de cada disco ou anel. A fórmula geral é:
Onde:
-
é o raio externo. -
é o raio interno. -
e são os limites de integração.
Passo 5
Vamos identificar
e
para o nosso caso.
Como estamos rotacionando em torno do eixo
:
- A curva de cima é
, então ela será o . - A curva de baixo é
, então ela será o .
Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula da integral:
Resposta
O volume do sólido
é dado pela integral: