Considere a região R do primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x^2 e y=8-x^2.
Expresse, por meio de uma integral, o volume do sólido S obtido pela rotação da região R em torno do eixo x, seja pelo método das cascas ou das fatias. Não é necessário calcular a integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região no primeiro quadrante, limitada pelas curvas y = x^2 e y = 8 - x^2 , em torno do eixo x . A gente vai usar cálculo integral para resolver isso, especificamente os métodos das cascas ou das fatias. Vamos precisar entender um pouco sobre integração e geometria de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Igualando x^2 = 8 - x^2 :
x^2 + x^2 = 8 2x^2 = 8 x^2 = 4 x = 2 (como estamos no primeiro quadrante, só consideramos x = 2) ó
Então, a região R vai de x = 0 até x = 2 .

Passo 3

Agora, vamos escolher o método que vamos usar. Vou explicar os dois rapidamente:
  • Método das Fatias (Método dos Discos ou Anéis): Aqui, a gente corta o sólido em fatias perpendiculares ao eixo de rotação (no caso, ao eixo x ). Cada fatia forma um disco (se tiver apenas uma curva) ou um anel (se tiver duas curvas).
  • Método das Cascas Cilíndricas: Nesse método, a gente corta a região em fatias verticais paralelas ao eixo de rotação, formando cascas cilíndricas.
Vou optar pelo Método das Fatias porque geralmente é mais direto para rotações ao redor do eixo x .

Passo 4

No Método das Fatias, o volume V do sólido de rotação é dado pela integral do volume de cada disco ou anel. A fórmula geral é:
V = pi integrala^b [ R(x)^2 - r(x)^2 ] dx
Onde:
  • R(x) é o raio externo.
  • r(x) é o raio interno.
  • a e b são os limites de integração.

Passo 5

Vamos identificar R(x) e r(x) para o nosso caso.
Como estamos rotacionando em torno do eixo x :
  • A curva de cima é y = 8 - x^2 , então ela será o R(x) .
  • A curva de baixo é y = x^2 , então ela será o r(x) .
Portanto:
R(x) = 8 - x^2 r(x) = x^2

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula da integral:
V = pi integral0^2 [ (8 - x^2)^2 - (x^2)^2 ] dx

Resposta

O volume do sólido S é dado pela integral:
V = pi integral0^2 [ (8 - x^2)^2 - (x^2)^2 ] dx

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