[2 pontos] Use o Teorema de Green para calcular
onde
e
é a fronteira do quadrado de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede o valor da integral de linha
, onde
é a fronteira do quadrado de vértices
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
O enunciado não especifica a orientação, então vou assumir a orientação positiva (contra‑horária), que é o usual quando se diz “fronteira” sem mais indicação.
O que devemos calcular: (integral de linha ao longo da fronteira do quadrado).
O que devemos calcular:
Passo 2
Vou aplicar o Teorema de Green. Vou ensinar o que é e como usá‑lo:
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha em contorno fechado com uma integral dupla sobre a região interna ao contorno. Se
e
são funções com derivadas parciais contínuas em uma região que contém
e
é a fronteira de
orientada positivamente, então
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha em contorno fechado com uma integral dupla sobre a região
Explicando:
é a forma associada ao campo vetorial
. O integrando da integral dupla é a diferença entre a derivada parcial de
em relação a
e a derivada parcial de
em relação a
. Na prática, em vez de parametrizar todo o contorno, muitas vezes é muito mais simples calcular as derivadas parciais e integrar sobre a área.
Passo 3
Identifico
e
a partir de
. Aqui
Vou usar essas funções no Teorema de Green.
Passo 4
Calculo as derivadas parciais pedidas pelo teorema, explicando cada passo:
Derivada parcial de
em relação a
:
Aqui
é tratado como constante. A derivada de
em relação a
é
. A derivada de
é
. Portanto
Derivada parcial de
em relação a
:
Aqui
é constante. A derivada de
é
, então
Passo 5
Formo o integrando do Teorema de Green:
Os termos
cancelam, sobrando um integrando constante:
Comentário didático: quando essa diferença é uma constante, a integral dupla fica muito simples — é só multiplicar essa constante pela área da região.
Passo 6
Identifico a região
sobre a qual integrarei. A fronteira
é o quadrado com vértices indicados, ou seja
Portanto o domínio é um quadrado de lado
e área
. Vou escrever a integral dupla como integral iterada para ser explícito:
Passo 7
Calculo a integral iterada passo a passo:
Integro primeiro em
:
Agora integro em
:
Observação: alternativamente, como o integrando é constante
, posso dizer imediatamente que a integral dupla é
vezes a área de
, ou seja
, que também dá o mesmo resultado.