[2 pontos] Use o Teorema de Green para calcular \int_{C} F \cdot d r onde
F(x, y)=4 x^{3} y^{3} \vec{i}+\left(3 x^{4} y^{2}+5 x\right) \vec{j}
e C é a fronteira do quadrado de vértices (1,1),(-1,1),(-1,-1) e (1,-1).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=4x^{3}y^{3}\,\vec{i}+\bigl(3x^{4}y^{2}+5x\bigr)\,\vec{j}
e pede o valor da integral de linha \displaystyle\int_{C}F\cdot d r, onde C é a fronteira do quadrado de vértices (1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1).
Informações relevantes:
\text{Vértices do quadrado: }(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1).é
O enunciado não especifica a orientação, então vou assumir a orientação positiva (contra‑horária), que é o usual quando se diz “fronteira” sem mais indicação.
O que devemos calcular: \displaystyle\int_{C}F\cdot d r (integral de linha ao longo da fronteira do quadrado).

Passo 2

Vou aplicar o Teorema de Green. Vou ensinar o que é e como usá‑lo:
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha em contorno fechado com uma integral dupla sobre a região D interna ao contorno. Se P(x,y) e Q(x,y) são funções com derivadas parciais contínuas em uma região que contém D e C=\partial D é a fronteira de D orientada positivamente, então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando: P\,dx+Q\,dy é a forma associada ao campo vetorial F=(P,Q). O integrando da integral dupla é a diferença entre a derivada parcial de Q em relação a x e a derivada parcial de P em relação a y. Na prática, em vez de parametrizar todo o contorno, muitas vezes é muito mais simples calcular as derivadas parciais e integrar sobre a área.

Passo 3

Identifico P e Q a partir de F. Aqui
P(x,y)=4x^{3}y^{3}, \qquad Q(x,y)=3x^{4}y^{2}+5x.
Vou usar essas funções no Teorema de Green.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais pedidas pelo teorema, explicando cada passo:
Derivada parcial de Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{4}y^{2}+5x\bigr).
Aqui y é tratado como constante. A derivada de 3x^{4}y^{2} em relação a x é 3\cdot 4x^{3}y^{2}=12x^{3}y^{2}. A derivada de 5x é 5. Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}=12x^{3}y^{2}+5.
Derivada parcial de P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}y^{3}\bigr).
Aqui x é constante. A derivada de y^{3} é 3y^{2}, então
\frac{\partial P}{\partial y}=4x^{3}\cdot 3y^{2}=12x^{3}y^{2}.

Passo 5

Formo o integrando do Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \bigl(12x^{3}y^{2}+5\bigr) - \bigl(12x^{3}y^{2}\bigr).
Os termos 12x^{3}y^{2} cancelam, sobrando um integrando constante:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=5.
Comentário didático: quando essa diferença é uma constante, a integral dupla fica muito simples — é só multiplicar essa constante pela área da região.

Passo 6

Identifico a região D sobre a qual integrarei. A fronteira C é o quadrado com vértices indicados, ou seja
D=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\; -1\le y\le 1\}.
Portanto o domínio é um quadrado de lado 2 e área 2\cdot 2=4. Vou escrever a integral dupla como integral iterada para ser explícito:
\iint_{D} 5\,dA = \int_{x=-1}^{1}\int_{y=-1}^{1} 5\,dy\,dx.

Passo 7

Calculo a integral iterada passo a passo:
Integro primeiro em y:
\int_{y=-1}^{1}5\,dy = 5\bigl[y\bigr]_{y=-1}^{1}=5(1-(-1))=5\cdot 2=10.
Agora integro em x:
\int_{x=-1}^{1} 10\,dx = 10\bigl[x\bigr]_{x=-1}^{1}=10(1-(-1))=10\cdot 2=20.
Observação: alternativamente, como o integrando é constante 5, posso dizer imediatamente que a integral dupla é 5 vezes a área de D, ou seja 5\cdot 4, que também dá o mesmo resultado.

Resposta

20

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