Resolva os seguintes PVI’s, os quais possuem uma condição extra sobre o domínio
l(t+1) y^prime(t)+2 y(t) equiv 0, condição extra ao domínio: t>-1, y(0)=1çãí

Passo 1

O enunciado dá o PVI
(t+1),y'(t)+2,y(t)=0,
com condição extra no domínio t>-1 (para evitar divisão por zero) e y(0)=1. O conteúdo aqui é a resolução de uma EDO linear de primeira ordem homogênea, que podemos tratar por separação de variáveis ou pelo formato padrão y'+p(t)y=0.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo por t+1 (válido pois t>-1implies t+1>0):
y'(t)+2t+1,y(t)=0

Passo 3

É uma equação homogênea, então separamos variáveis:
dyy=-2t+1,dt
Agora integramos ambos os lados.

Passo 4

A integração fornece
integraldyy=integral -2t+1,dt Longrightarrow lnlvert yrvert=-2lnlvert t+1rvert + C

Passo 5

Exponenciando, obtemos
lvert yrvert=e^C;lvert t+1rvert^-2
Como t+1>0, podemos retirar valor absoluto e definir K=e^C, ficando
y(t)=K,(t+1)^-2

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=1:
1=K,(0+1)^-2=KLongrightarrow K=1
Logo a solução é
y(t)=(t+1)^-2

Resposta

y(t)=1(t+1)^2, t>-1

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