Considere o campo vetorial F(x, y, z)=x e^z i+y e^z j+(5 x^2+7 y^2) k e seja S a superfície que é o gráfico da função f(x, y)=ln (1+2 x^2+3 y^2), com x^2+y^2 <= 4, y <= 0 e orientada de maneira tal que que n cdot k >= 0.
Cálcule integral duplaS F cdot n d S.
Escolha uma opção:
a) 6 pi
b) 14 pi
c) 8 pi
d) 4 pi
e) 10 pi

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=x e^z,i+y e^z,j+(5x^2+7y^2),k através da superfície S dada pelo gráfico
z = f(x,y) = lnl(1+2x^2+3y^2r),
sobre a região D=(x,y)mid x^2+y^2<=4,;y<=0, com orientação para cima ( ncdotk>=0).
Conteúdo: cálculo de fluxo via integral de superfície de gráfico. Vamos usar a fórmula que transforma
integral duplaSFcdotn,dS num integral duplo sobre D.

Passo 2

Para o gráfico z=f(x,y) com normal “para cima”, vale a fórmula
integral duplaSFcdotn,dS =integral duplaDl[-P,fx -Q,fy +Rr],dA,
onde F=(P,Q,R).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx = partialpartial xln(1+2x^2+3y^2) =4x1+2x^2+3y^2, fy = 6y1+2x^2+3y^2

Passo 4

No integrando aparece e^z=e^f(x,y)=1+2x^2+3y^2. Então
P,fx = x e^z,4x1+2x^2+3y^2 =4x^2, Q,fy = y e^z,6y1+2x^2+3y^2 =6y^2
Logo
-P,fx -Q,fy +R = -4x^2 -6y^2 + (5x^2+7y^2) = x^2 + y^2

Passo 5

Ficamos com
integral duplaSFcdotn,dS =integral duplaD(x^2+y^2),dA,
onde D é o semicírculo de raio 2 para y<=0. Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, temos x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta, com
theta de pi a 2pi e r de 0 a 2. Assim
integral duplaDr^2,dA =integraltheta=pi^2pi!integralr=0^2r^2,(r,dr,dtheta) =integralpi^2pidthetaintegral0^2r^3,dr

Passo 6

Calculando as integrais:
integral0^2r^3,dr = 2^44=4, integralpi^2pidtheta = pi,
logo o resultado é
pi times 4 = 4pi

Resposta

d) 4pi

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