Considere o campo vetorial
a superfície que é o gráfico da função
, com
e orientada de maneira tal que que
.
Cálcule
.
Escolha uma opção:
a)
b)
c)
d)
e)
Cálcule
Escolha uma opção:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
dada pelo gráfico
sobre a região
, com orientação para cima (
).
Conteúdo: cálculo de fluxo via integral de superfície de gráfico. Vamos usar a fórmula que transforma
num integral duplo sobre
.
Conteúdo: cálculo de fluxo via integral de superfície de gráfico. Vamos usar a fórmula que transforma
Passo 2
Para o gráfico
com normal “para cima”, vale a fórmula
onde
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 4
No integrando aparece
. Então
Logo
Passo 5
Ficamos com
onde
é o semicírculo de raio
para
. Em coordenadas polares
,
, temos
e
, com
de
a
e
de
a
. Assim
Passo 6
Calculando as integrais:
logo o resultado é
Resposta
d)