(Bônus 3 pontos) Enuncie uma fórmula para derivação de uma composição de 4 funções, e logo aplique-a em um exemplo enunciado por você mesmo que combine as funções: seno, cosseno, e^{x} e x^{2}+1.

Passo 1

O enunciado pede primeiro a fórmula geral da regra da cadeia para a composição de quatro funções e, em seguida, que apliquemos essa fórmula num exemplo que envolva as funções seno, cosseno, e^x e x^2+1. Vamos usar a notação
F(x) = f\bigl(g\bigl(h\bigl(k(x)\bigr)\bigr)\bigr)
para derivar de forma geral e depois escolher um exemplo concreto.

Passo 2

Seja
F(x) = f\bigl(g\bigl(h\bigl(k(x)\bigr)\bigr)\bigr).
A regra da cadeia para composição de quatro funções diz que
F'(x) = f'\bigl(g(h(k(x)))\bigr) \;\times\; g'\bigl(h(k(x))\bigr) \;\times\; h'\bigl(k(x)\bigr) \;\times\; k'(x).

Passo 3

Vamos definir o exemplo
F(x) = \sin\bigl(\cos\bigl(e^{\,x^2+1}\bigr)\bigr).
Aqui temos as quatro funções internas:
k(x) = x^2 + 1, \quad h(w) = e^w, \quad g(v) = \cos v, \quad f(u) = \sin u.

Passo 4

Primeiro calculamos as derivadas individuais:
k'(x) = 2x, \quad h'(w) = e^w, \quad g'(v) = -\sin v, \quad f'(u) = \cos u.
Agora aplicamos a fórmula da cadeia:
F'(x) = f'\bigl(g(h(k(x)))\bigr) \,g'\bigl(h(k(x))\bigr) \,h'\bigl(k(x)\bigr) \,k'(x).
Substituindo cada parte:
F'(x) = \cos\bigl(\cos(e^{\,x^2+1})\bigr) \;\times\; \bigl(-\sin(e^{\,x^2+1})\bigr) \;\times\; e^{\,x^2+1} \;\times\; 2x.
Podemos também escrever de forma mais compacta:
F'(x) = -2x\,e^{\,x^2+1}\,\sin\bigl(e^{\,x^2+1}\bigr)\, \cos\bigl(\cos(e^{\,x^2+1})\bigr).

Resposta

F'(x) = -2x\,e^{\,x^2+1}\,\sin\bigl(e^{\,x^2+1}\bigr)\, \cos\bigl(\cos(e^{\,x^2+1})\bigr).

Exercícios relacionados