Verificar se a matriz A é diagonalizável.
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\\\ 0 & 1 & -4 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1\\\\ 0 & 1 & -4\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
e pede para verificar se A é diagonalizável. O conteúdo aqui é autovalores, autovetores e critério de diagonalização (isto é, existe base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A?).

Passo 2

Para que uma matriz n\times n seja diagonalizável sobre \mathbb{R} (ou \mathbb{C}), precisamos que a soma das multiplicidades geométricas (dimensões dos espaços próprios) seja n. Um caso simples é: se todos os autovalores são distintos, cada um tem multiplicidade algébrica 1 e gera um autovetor livre, garantindo n autovetores independentes.

Passo 3

Como A é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal. Logo,
\lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = 1,\quad \lambda_3 = 3.
Cada um desses autovalores aparece apenas uma vez na diagonal, logo cada multiplicidade algébrica é 1. Pela propriedade de que autovalores distintos garantem autovetores linearmente independentes, concluímos que há três autovetores independentes.

Passo 4

Como obtivemos três autovetores independentes em \mathbb{R}^3, segue que A é diagonalizável.

Resposta

A é diagonalizável.

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