[2.0 pt ] Determine em que ponto a reta tangente à curva
r=e^-2 t i+cos t j+3 sen t k
no ponto (1,1,0) intersecta o plano y z.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a curva parametrizada por
r(t)=e^-2t,i+cos t,j+3sen t,k
e queremos achar a reta tangente a essa curva no ponto (1,1,0) e então determinar onde essa reta intersecta o plano yz. Vamos usar cálculo vetorial para obter a reta tangente e, em seguida, resolver a interseção com o plano x=0.

Passo 2

Primeiro encontramos o valor de tal que
Das componentes vêm as equações
Da primeira, , logo . Verificamos que e , portanto .

Passo 3

Calculamos o vetor tangente r'(t):
r'(t) = ddtl(e^-2t,cos t,3sen tr) =(-2e^-2t,,-sen t,,3cos t)
Em t0=0 isso vale
v=r'(0)=(-2,0,3)

Passo 4

A reta tangente em r(0)=(1,1,0) é dada por
L(s) = (1,1,0)+s,(-2,0,3)
Em coordenadas:
x(s)=1-2s, y(s)=1, z(s)=3s

Passo 5

O plano yz é dado por x=0. Para achar a interseção, impomos
x(s)=1-2s=0 ;Longrightarrow; s=tfrac12
Substituindo em y(s) e z(s) obtemos
yl(tfrac12r)=1, zl(tfrac12r)=3cdottfrac12=tfrac32

Resposta

O ponto de interseção é l(0,1,tfrac32r).

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