[2.0 pt ] Determine em que ponto a reta tangente à curva
no ponto
intersecta o plano
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a curva parametrizada por
e queremos achar a reta tangente a essa curva no ponto
e então determinar onde essa reta intersecta o plano
. Vamos usar cálculo vetorial para obter a reta tangente e, em seguida, resolver a interseção com o plano
.
Passo 2
Primeiro encontramos o valor de
tal que
Das componentes vêm as equações
Da primeira,
dá
, logo
. Verificamos que
e , portanto
.
Passo 3
Calculamos o vetor tangente
:
Em
isso vale
Passo 4
A reta tangente em
é dada por
Em coordenadas:
Passo 5
O plano
é dado por
. Para achar a interseção, impomos
Substituindo em
e
obtemos
Resposta
O ponto de interseção é
.