[2.0 pt ] Determine os pontos onde a curvatura da curva y=x^4 / 4, -2 <= x <= 2 é máxima.

Passo 1

O enunciado pede os pontos em que a curvatura da curva
y = x^44, -2<= x<=2
é máxima.
Conteúdo: curvatura de uma curva dada por y=f(x). Fórmula que vamos usar:
kappa(x)=l|y''(x)r|l[1+(y'(x))^2r]^3/2

Passo 2

Calculamos as derivadas de y:
y'(x)=x^3, y''(x)=3x^2
Substituindo na fórmula da curvatura vem
kappa(x) =3x^2l(1+(x^3)^2r)^3/2 =3x^2l(1+x^6r)^3/2

Passo 3

Para achar os extremos de kappa(x) derivamos e igualamos a zero. Um cálculo direto dá
kappa'(x) =3x,(2-7x^6)(1+x^6)^5/2 ;Longrightarrow; kappa'(x)=0iff x=0;ou;x^6=27
Como kappa(0)=0 é mínimo e kappa(pm2)<kappal(pm(2/7)^1/6r), o máximo ocorre em
x=pmgl(27gr)^1/6

Passo 4

Encontrar a ordenada y nesses x:
y=x^44, x^4=l(x^6r)^2/3=l(tfrac27r)^2/3 ;Longrightarrow; y=(2/7)^2/34

Resposta

Os pontos de curvatura máxima são
l(pm(2/7)^1/6,;(2/7)^2/34r)

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