integral0^2 integral-3^0 integral-1^1 x^2+y z d z d y d x

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de cálculo integral triplo aqui. A ideia é calcular a integral de uma função f(x, y, z) = x^2 + y z sobre um certo volume definido pelos limites de integração: x vai de 0 a 2, y de -3 a 0, e z de -1 a 1. Vamos usar a técnica de integrais múltiplos para resolver isso. Precisaremos integrar em relação a z , depois a y , e finalmente a x .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função f(x, y, z) = x^2 + y z em relação a z , mantendo x e y constantes. A integral em relação a z de -1 a 1 fica assim:
integral-1^1 (x^2 + y z) , dz
Vamos integrar termo a termo:
integral-1^1 x^2 , dz + integral-1^1 y z , dz
Como x^2 é constante em relação a z , a primeira integral fica:
x^2 cdot (1 - (-1)) = x^2 cdot 2 = 2x^2
Para a segunda parte, y também é constante em relação a z :
y cdot ( 12 z^2 |-1^1 ) = y cdot ( 12(1)^2 - 12(-1)^2 ) = y cdot ( 12 - 12 ) = 0
Então, a integral em relação a z resulta em:
2x^2

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado 2x^2 em relação a y , com limites de -3 a 0:
integral-3^0 2x^2 , dy
Como 2x^2 é constante em relação a y , a integral fica:
2x^2 cdot (0 - (-3)) = 2x^2 cdot 3 = 6x^2

Passo 4

Por fim, vamos integrar 6x^2 em relação a x , de 0 a 2:
integral0^2 6x^2 , dx
A integral de x^2 é x^33 , então:
6 cdot ( x^33 |0^2 ) = 6 cdot ( 83 - 0 ) = 6 cdot 83 = 16

Resposta

O valor da integral tripla é 16.

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