[2.0 pt ] Suponha que você comece no ponto (0,0,4) e se mova 31.4 unidades ao longo da curva x=4 \operatorname{sen} t, y=3 t, z=4 \cos t na direção positiva de t. Onde você está agora?

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva paramétrica
x=4\sin t,\quad y=3t,\quad z=4\cos t
e diz que no ponto inicial t=0 estamos em (0,0,4). Queremos avançar 31{,}4 unidades de comprimento ao longo dessa curva no sentido de t crescente e determinar a nova posição.

Passo 2

Para relacionar o deslocamento ao parâmetro t, calculamos a velocidade escalar da curva:
\mathbf{r}'(t)=(4\cos t,\;3,\;-4\sin t),
\|\mathbf{r}'(t)\| =\sqrt{(4\cos t)^2+3^2+(-4\sin t)^2} =\sqrt{16(\cos^2t+\sin^2t)+9} =\sqrt{25} =5.
Isso mostra que a curva tem velocidade constante igual a 5.

Passo 3

O comprimento de arco desde t=0 até um parâmetro t é
s(t)=\int_{0}^{t}5\,du=5t.
Queremos s(t)=31{,}4, logo
5t=31{,}4 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{31{,}4}{5}=6{,}28.

Passo 4

Agora posicionamos esse valor de t na própria curva:
x=4\sin(6{,}28), \quad y=3\cdot6{,}28, \quad z=4\cos(6{,}28).
Numericamente,
\sin(6{,}28)\approx -0{,}0032,
\cos(6{,}28)\approx 0{,}999995,
então
x\approx4\,( -0{,}0032)=-0{,}0128, \quad y\approx18{,}84, \quad z\approx4\,(0{,}999995)=3{,}99998.

Resposta

\bigl(4\sin(6{,}28),\;3\cdot6{,}28,\;4\cos(6{,}28)\bigr) \approx(-0{,}013,\;18{,}84,\;3{,}99998).

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