Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas (faça o esboço da região)
y=\operatorname{sen}(x), y=\cos (x), x=\frac{\pi}{4} e x=\frac{5 \pi}{4}.
y=\operatorname{sen}(x), y=\cos (x), x=\frac{\pi}{4} e x=\frac{5 \pi}{4}.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
.
Este é um problema de área entre duas curvas: precisamos descobrir onde elas se cruzam, determinar qual fica acima no intervalo e então integrar a diferença.
Este é um problema de área entre duas curvas: precisamos descobrir onde elas se cruzam, determinar qual fica acima no intervalo e então integrar a diferença.
Passo 2
As curvas se igualam quando
No intervalo
as interseções ocorrem exatamente em
e em
. Para ver qual função fica acima, note que
é positivo sempre que
. Logo, no interior do intervalo
está acima de
.
Passo 3
A área
da região é
Passo 4
Calculamos a integral. Uma antiderivada de
é
pois
e
. Então
Como
,
,
e
,
segue
segue