Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas (faça o esboço da região)
y=\operatorname{sen}(x), y=\cos (x), x=\frac{\pi}{4} e x=\frac{5 \pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \;y=\operatorname{sen}(x), \;y=\cos(x), \;x=\tfrac{\pi}{4} e \;x=\tfrac{5\pi}{4}.
Este é um problema de área entre duas curvas: precisamos descobrir onde elas se cruzam, determinar qual fica acima no intervalo e então integrar a diferença.

Passo 2

As curvas se igualam quando
\operatorname{sen}(x)=\cos(x) \quad\Longrightarrow\quad \tan(x)=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+n\pi.
No intervalo \bigl[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\bigr] as interseções ocorrem exatamente em x=\tfrac{\pi}{4} e em x=\tfrac{5\pi}{4}. Para ver qual função fica acima, note que
\operatorname{sen}(x)-\cos(x)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)
é positivo sempre que x\in\bigl(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\bigr). Logo, no interior do intervalo \operatorname{sen}(x) está acima de \cos(x).

Passo 3

A área A da região é
A = \int_{\pi/4}^{5\pi/4}\bigl[\operatorname{sen}(x)-\cos(x)\bigr]\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral. Uma antiderivada de \operatorname{sen}(x)-\cos(x) é
F(x) = -\cos(x)\;-\;\sin(x),
pois \tfrac{d}{dx}[-\cos(x)]=\operatorname{sen}(x) e \tfrac{d}{dx}[-\sin(x)]=-\cos(x). Então
A = F\bigl(5\tfrac{\pi}{4}\bigr)-F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \bigl[-\cos(5\tfrac{\pi}{4})-\sin(5\tfrac{\pi}{4})\bigr] -\bigl[-\cos(\tfrac{\pi}{4})-\sin(\tfrac{\pi}{4})\bigr].
Como \cos(5\tfrac{\pi}{4})=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \sin(5\tfrac{\pi}{4})=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2},
segue
A = \Bigl[+\tfrac{\sqrt{2}}{2}+ \tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr] -\Bigl[-\tfrac{\sqrt{2}}{2}- \tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr] = \bigl[\sqrt{2}\bigr] - \bigl[-\sqrt{2}\bigr] = 2\sqrt{2}.

Resposta

2\sqrt{2}

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