Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao o redor do eixo especificado (faça o esboço da região).
y=x^{3} e y=8, x=0 ao redor do eixo y.
y=x^{3} e y=8, x=0 ao redor do eixo y.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região limitada por
,
e
.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por rotação, e vamos usar o método dos cascos cilíndricos.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por rotação, e vamos usar o método dos cascos cilíndricos.
Passo 2
Primeiro identificamos os pontos de interseção: resolvendo
obtemos
.
Isso significa que a região em está para
e, a cada
, varia em
de
até
.
Em um esboço, é o “bandejão” entre a curva cúbica e a reta horizontal, apagado à esquerda por .
Isso significa que a região em
Em um esboço, é o “bandejão” entre a curva cúbica e a reta horizontal, apagado à esquerda por
Passo 3
No método dos cascos cilíndricos, cada fatia vertical em
gera um cilindro de raio
, altura
e espessura
.
A área lateral de cada casco é .
A área lateral de cada casco é
Passo 4
O volume é a soma (integral) desses cascos de
até
:
Passo 5
Calculamos a integral:
Passo 6
Multiplicando por
, obtemos