Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao o redor do eixo especificado (faça o esboço da região).
y=x^{3} e y=8, x=0 ao redor do eixo y.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada por
\displaystyle y = x^3, \displaystyle y = 8 e \displaystyle x = 0.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por rotação, e vamos usar o método dos cascos cilíndricos.

Passo 2

Primeiro identificamos os pontos de interseção: resolvendo x^3 = 8 obtemos x=2.
Isso significa que a região em xy está para 0 \le x \le 2 e, a cada x, varia em y de y=x^3 até y=8.
Em um esboço, é o “bandejão” entre a curva cúbica e a reta horizontal, apagado à esquerda por x=0.

Passo 3

No método dos cascos cilíndricos, cada fatia vertical em x gera um cilindro de raio r=x, altura h = 8 - x^3 e espessura dx.
A área lateral de cada casco é 2\pi r\,h = 2\pi\,x\,(8 - x^3).

Passo 4

O volume é a soma (integral) desses cascos de x=0 até x=2:
V = 2\pi \int_{0}^{2} x\,(8 - x^3)\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int_{0}^{2} x\,(8 - x^3)\,dx = \int_{0}^{2} \bigl(8x - x^4\bigr)\,dx = \Bigl[4x^2 - \tfrac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(4\cdot4 - \tfrac{32}{5}\bigr) = 16 - \tfrac{32}{5} = \tfrac{48}{5}.

Passo 6

Multiplicando por 2\pi, obtemos
V = 2\pi \cdot \tfrac{48}{5} = \tfrac{96\pi}{5}.

Resposta

V = \frac{96\pi}{5}.

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