1. [2,0 ptos] Determine as dimensões do retângulo, de maior área, cuja base está sobre o eixo x e cujos vértices superiores estão sobre a parábola de equação y=3-x^2.

Passo 1

O enunciado pede o retângulo de maior área cuja base está no eixo x e cujos vértices superiores tocam a parábola y=3-x^2. Vamos usar cálculo de otimização: definir a área em função de uma variável e encontrar seu máximo.

Passo 2

Seja x>=0 a abscissa do vértice superior direito. Como a parábola é simétrica, a largura do retângulo é 2x e a altura é
y=3-x^2
Logo a área em função de x é
A(x)=2xl(3-x^2r)=6x-2x^3

Passo 3

Para maximizar, calculamos a derivada
A'(x)=6-6x^2
e igualamos a zero:
6-6x^2=0Longrightarrow x^2=1Longrightarrow x=1

Passo 4

O segundo derivada é
A''(x)=-12x,
que em x=1 vale -12<0, confirmando máximo. Assim a largura ótima é
2x=2ea<ura=3-1^2=2

Resposta

A base do retângulo mede 2 unidades e a altura mede 2 unidades.

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