Queremos (a) os pontos onde f não é derivável e (b) expressar f' em seu domínio. Como cada ramo é suave no interior, só precisamos investigar x=0 e x=1.
Passo 2
Derivando em cada intervalo aberto onde f é dada por uma única fórmula:
Para x<0,
f'(x)=-2cos(x)
Para 0<x<1,
f'(x)=2(x-1)
Para x>1, por produto e cadeia em x^2ln(x),
f'(x)=2xln(x)+x
Passo 3
Em x=0 há continuidade pois limxto0^-f(x)=1 e f(0)=(0-1)^2=1.
As derivadas laterais são
f'-(0)=-2cos(0)=-2, f'+(0)=2(0-1)=-2,
logo coincidem e f é derivável em 0.
Passo 4
Em x=1 também há continuidade: limxto1^-(x-1)^2=0 e limxto1^+x^2ln(x)=0.
Mas
f'-(1)=2(1-1)=0, f'+(1)=2cdot1ln(1)+1=1,
são diferentes, então f não é derivável em x=1.
Passo 5
Concluímos que o único ponto de não diferenciabilidade é