1. Considere
f(x)=lc 1-2 sen(x), & x in(-infty, 0) (x-1)^2 & x in[0,1) x^2 ln (x), & x in[1, infty)
(a) [1,0 pt] Determine os pontos onde f não é derivável.
(b) [1,0 pt] Calcule f^prime (observe seu domínio).

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= 1-2sen(x),&x<0, (x-1)^2,&0<= x<1, x^2ln(x),&x>=1
Queremos (a) os pontos onde f não é derivável e (b) expressar f' em seu domínio. Como cada ramo é suave no interior, só precisamos investigar x=0 e x=1.

Passo 2

Derivando em cada intervalo aberto onde f é dada por uma única fórmula:
Para x<0,
f'(x)=-2cos(x)
Para 0<x<1,
f'(x)=2(x-1)
Para x>1, por produto e cadeia em x^2ln(x),
f'(x)=2xln(x)+x

Passo 3

Em x=0 há continuidade pois
limxto0^-f(x)=1 e f(0)=(0-1)^2=1.
As derivadas laterais são
f'-(0)=-2cos(0)=-2, f'+(0)=2(0-1)=-2,
logo coincidem e f é derivável em 0.

Passo 4

Em x=1 também há continuidade:
limxto1^-(x-1)^2=0 e limxto1^+x^2ln(x)=0.
Mas
f'-(1)=2(1-1)=0, f'+(1)=2cdot1ln(1)+1=1,
são diferentes, então f não é derivável em x=1.

Passo 5

Concluímos que o único ponto de não diferenciabilidade é
com domínio
(\dom f’=\mathbb{R}\setminus{1}].

Resposta

(a) .
(b) para , para e para , com .

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