1. Prove as desigualdades seguintes:
    (a) [1,0 pto ] e^x>1 para x>0;
    (b) [1,0 pto ] e^x>x+1 para x>0.

Passo 1

O exercício pede para provar duas desigualdades envolvendo a função exponencial para valores de x>0. Vamos usar o fato de que e^x é derivável em todo R e que sua derivada é positiva, o que implica que e^x é crescente.

Passo 2

Para mostrar que e^x>1 quando x>0, observamos que a derivada de e^x é (e^x)'=e^x>0. Isso significa que e^x é estritamente crescente. Como e^0=1, para qualquer x>0 temos
e^x>e^0=1

Passo 3

Para provar que e^x> x+1 quando x>0, definimos a função
f(x)=e^x-(x+1)
Calculamos a derivada:
f'(x)=e^x-1
Note que para x>0 temos e^x>1, logo f'(x)>0. Isso mostra que f(x) é crescente. Como f(0)=e^0-(0+1)=0, segue que para todo x>0
f(x)>f(0)=0
o que implica
e^x-(x+1)>0
ou seja
e^x> x+1

Resposta

As desigualdades estão provadas: para todo x>0, vale e^x>1 e e^x> x+1.

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