- Prove as desigualdades seguintes:
(a)
pto
para
;
(b)
pto
para
.
(a)
(b)
Passo 1
O exercício pede para provar duas desigualdades envolvendo a função exponencial para valores de
. Vamos usar o fato de que
é derivável em todo
e que sua derivada é positiva, o que implica que
é crescente.
Passo 2
Para mostrar que
quando
, observamos que a derivada de
é
. Isso significa que
é estritamente crescente. Como
, para qualquer
temos
Passo 3
Para provar que
quando
, definimos a função
Calculamos a derivada:
Note que para
temos
, logo
. Isso mostra que
é crescente. Como
, segue que para todo
o que implica
ou seja
Resposta
As desigualdades estão provadas: para todo
, vale
e
.