[2,0 ptos] Encontre uma primitiva F(x) de f(x)=x^2+3 x+sen(x) tal que F(0)=2.

Passo 1

Nesse exercício queremos encontrar uma primitiva de f(x)=x^2+3x+sen(x) que satisfaça F(0)=2. Vamos integrar termo a termo usando regras de potência e trigonometria.

Passo 2

Para integrar cada parcela usamos as seguintes fórmulas:integral da potência: integral x^n,dx=x^n+1n+1 e integral do seno: integral sen(x),dx=-cos(x). Assim: para x^2 temos integral x^2,dx=x^33; para 3x temos integral3x,dx=3cdotx^22=32x^2; e para sen(x) obtemos integralsen(x),dx=-cos(x).
A primitiva geral fica:
F(x)=x^33+32x^2-cos(x)+C

Passo 3

Agora usamos a condição inicial: substituindo x=0 na primitiva, temos F(0)=-cos(0)+C=-1+C. Como queremos F(0)=2, temos
-1+C=2implies C=3

Resposta

F(x)=x^33+32x^2-cos(x)+3

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