Determine o limite:
lim x longrightarrow 1 ln (2 x)x-1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função do tipo quociente quando x tende a 1, usando conceitos de limites de funções e análise de forma indefinida.

Passo 2

Ao substituir x=1 diretamente em ln(2x)x-1 obtemos ln(2cdot1)1-1=ln20. Como ln2neq0 e o denominador vai a zero, não temos a forma 0/0, mas sim uma constante não nula dividida por algo que tende a zero.

Passo 3

Quando temos uma constante positiva dividida por um número que se aproxima de zero, o quociente cresce em módulo sem limite. Para analisar o sinal, note que ln2>0:
— Se x→1⁺ então x-1>0 e o quociente vai para +∞.
— Se x→1⁻ então x-1<0 e o quociente vai para –∞.

Resposta

O limite bilateral não existe (diverge): tende a +∞ pela direita e a –∞ pela esquerda.

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