- [2,0 ptos] Seja
. Mostre que
possui uma única raiz no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
e pede para mostrar que ela tem exatamente uma raiz em
.
Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz e estudar o sinal de para garantir unicidade, já que polinômios são diferenciáveis e, portanto, contínuos.
Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz e estudar o sinal de
Passo 2
Calculamos os valores de
nos extremos do intervalo:
Passo 3
Como
é contínua em
e
, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos uma raiz
tal que
Passo 4
Agora estudamos a derivada
O discriminante de
é
, com raízes em
e
. Como o coeficiente de
é positivo, temos
Em particular, em todo
vale
, logo
. Portanto
é estritamente crescente em
.
Passo 5
Sendo
estritamente crescente em
, ela não pode ter mais de uma raiz nesse intervalo. Juntando com a existência de ao menos uma raiz, concluímos que há exatamente uma raiz em
.
Resposta
A função
possui uma única raiz em
.