1. [2,0 ptos] Seja p(x)=4 x^3+15 x^2+12 x+5. Mostre que p possui uma única raiz no intervalo (-3,-2).

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial
p(x)=4x^3+15x^2+12x+5
e pede para mostrar que ela tem exatamente uma raiz em (-3,-2).
Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz e estudar o sinal de p'(x) para garantir unicidade, já que polinômios são diferenciáveis e, portanto, contínuos.

Passo 2

Calculamos os valores de p nos extremos do intervalo:
p(-3)=4(-3)^3+15(-3)^2+12(-3)+5 =-108+135-36+5=-4<0,
p(-2)=4(-2)^3+15(-2)^2+12(-2)+5 =-32+60-24+5=9>0

Passo 3

Como p é contínua em [-3,-2] e p(-3)<0<p(-2), o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos uma raiz xiin(-3,-2) tal que
p(xi)=0

Passo 4

Agora estudamos a derivada
p'(x)=12x^2+30x+12=6l(2x^2+5x+2r)
O discriminante de 2x^2+5x+2 é De<a=5^2-4cdot2cdot2=9, com raízes em x=-2 e x=-tfrac12. Como o coeficiente de x^2 é positivo, temos
2x^2+5x+2>0para x< -2e para x>-tfrac12
Em particular, em todo xin(-3,-2) vale 2x^2+5x+2>0, logo p'(x)=6(2x^2+5x+2)>0. Portanto p é estritamente crescente em (-3,-2).

Passo 5

Sendo p estritamente crescente em (-3,-2), ela não pode ter mais de uma raiz nesse intervalo. Juntando com a existência de ao menos uma raiz, concluímos que há exatamente uma raiz em (-3,-2).

Resposta

A função p(x)=4x^3+15x^2+12x+5 possui uma única raiz em (-3,-2).

Exercícios relacionados