Determine o limite:
lim x longrightarrow 0 ln ^2(x+1)x^2;

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa achar o limite limxto0ln^2(1+x)x^2. O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções que envolvem logaritmo. Para resolver isso, vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor ou a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Reescrevendo a expressão de um jeito mais simples: note que
ln^2(1+x)x^2=l(ln(1+x)xr)^2

Passo 3

Agora, para entender o comportamento de ln(1+x)x quando xto0, usamos o desenvolvimento de Taylor de ln(1+x) em torno de zero:
ln(1+x)=x-x^22+o(x^2)
Dividindo tudo por x,
ln(1+x)x=1-x2+o(x)

Passo 4

Quando elevamos isso ao quadrado,
l(1-x2+o(x)r)^2=1- x +o(x),
que tende a 1 quando xto0.

Resposta

1

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