[2.5 pts] 2) Assinale
se verdadeiro ou
se falso em cada item abaixo. Não é necessário justificar.
(a) ( ) Sabendo que a família de curvas
é solução para a EDO
, então uma solução explícita para a condição inicial
é
.
(b) ( ) O PVI:
não possui solução única.
(c) ( )
é exata se
.
(d) ( ) O fator integrante da EDO inexata
é
.
(e) ( ) A função
é uma solução singular para a
sabendo que a família de curvas
( constante) é solucão geral da mesma.
(a) ( ) Sabendo que a família de curvas
(b) ( ) O PVI:
(c) ( )
(d) ( ) O fator integrante da EDO inexata
(e) ( ) A função
Passo 1
Temos cinco afirmações sobre equações diferenciais: (a) solução implícita de uma EDO exata e escolha de ramo, (b) unicidade de PVI singular em
, (c) condição de exatidão de uma EDO, (d) fator integrante dependente só de
, (e) identificação de solução singular como envelope da solução geral.
Passo 2
Para (a), a EDO exata tem família de curvas
Com
vem
, logo
O ramo que satisfaz
é
não
. Logo (a) é falsa.
Passo 3
Para (b) reescrevemos
Separando e integrando surge a família
e para todo
temos
. Portanto não há unicidade. A afirmação (b) é verdadeira.
Passo 4
Para (c), tomemos
Calculamos
Igualando dá
. Logo (c) é verdadeira.
Passo 5
Para (d), com
e
e o suposto
temos
Mas
,
logo não fica exata. Assim (d) é falsa.
logo não fica exata. Assim (d) é falsa.
Passo 6
Para (e), a solução geral é
O envelope satisfaz
, e
Esse é o singular, logo (e) é verdadeira.
Resposta
(a) F
(b) V
(c) V
(d) F
(e) V
(b) V
(c) V
(d) F
(e) V