[2.5 pts] 2) Assinale V se verdadeiro ou F se falso em cada item abaixo. Não é necessário justificar.
(a) ( ) Sabendo que a família de curvas f(x, y)=x^3+2 x^2 y+y^2=c é solução para a EDO (4 x y+3 x^2) d x+(2 y+2 x^2) d y=0, então uma solução explícita para a condição inicial y(0)=-2 é y(x)=-x^2+raizx^4-x^3+4.
(b) ( ) O PVI: x y^prime=2 y-2, y(0)=1 não possui solução única.
(c) ( ) A EDO(6 x y^3+y sen x) d x+(3 alpha x^2 y^2-cos x) d y=0 é exata se alpha=3.
(d) ( ) O fator integrante da EDO inexata x y d x+(2 x^2+3 y^2-20) d y=0 é J(y)=3y.
(e) ( ) A função y=-14 x^2 é uma solução singular para a EDO(y^prime)^2+x y^prime-y=0 sabendo que a família de curvas y=c x+c^2 ( constante) é solucão geral da mesma.

Passo 1

Temos cinco afirmações sobre equações diferenciais: (a) solução implícita de uma EDO exata e escolha de ramo, (b) unicidade de PVI singular em x=0, (c) condição de exatidão de uma EDO, (d) fator integrante dependente só de y, (e) identificação de solução singular como envelope da solução geral.

Passo 2

Para (a), a EDO exata tem família de curvas
f(x,y)=x^3+2x^2y+y^2=c
Com y(0)=-2 vem c=f(0,-2)=4, logo
y^2+2x^2y+x^3-4=0implies y=-x^2pmraizx^4-x^3+4
O ramo que satisfaz y(0)=-2 é
y=-x^2-raizx^4-x^3+4,
não y=-x^2+raizx^4-x^3+4. Logo (a) é falsa.

Passo 3

Para (b) reescrevemos
x,y' =2y-2implies y'=2(y-1)x, y(0)=1
Separando e integrando surge a família
y=1+ Cx^2,
e para todo C temos y(0)=1. Portanto não há unicidade. A afirmação (b) é verdadeira.

Passo 4

Para (c), tomemos
M=6xy^3+ysin x, N=3alpha x^2y^2-cos x
Calculamos
partial Mpartial y=18xy^2+sin x, partial Npartial x=6alpha x y^2+sin x
Igualando dá 18xy^2=6alpha x y^2impliesalpha=3. Logo (c) é verdadeira.

Passo 5

Para (d), com M=xy e N=2x^2+3y^2-20 e o suposto mu(y)=3/y temos
M^*=3yxy=3x, N^*=3y(2x^2+3y^2-20)=6x^2+9y^2-60y
Mas
partial M^*/partial y=0neq partial N^*/partial x=12x/y,
logo não fica exata. Assim (d) é falsa.

Passo 6

Para (e), a solução geral é
y=cx+c^2
O envelope satisfaz partial y/partial c=0implies x+2c=0implies c=-x/2, e
y=-tfracx2x+(!-x/2)^2=-tfrac14x^2
Esse é o singular, logo (e) é verdadeira.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) V
(d) F
(e) V

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