Com auxílio do Método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre os extremos da função
, sujeita ao vínculo
.
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos de
sob a restrição
O conteúdo é otimização com multiplicadores de Lagrange: introduzimos um parâmetro
e usamos as condições de estacionaridade de
.
Passo 2
Formamos a Lagrangiana
e impomos as derivadas nulas:
As duas primeiras dão
Passo 3
Das equações
e
surgem três possibilidades:
-
. -
. -
e , o que implica , logo .
Passo 4
Caso 1:
. Da restrição
segue
.
Caso 2: . Da restrição
segue
.
Nesses quatro pontos e
vale
Caso 2:
Nesses quatro pontos
Passo 5
Caso 3:
e
. Da restrição
(com combinações de sinais). Nesses quatro pontos vale
Passo 6
Comparando os valores, concluímos que:
- Valor mínimo de
é , em e . - Valor máximo de
é , em .
Resposta
Os extremos sujeitos a
são:
mínimos nos pontos
,
,
,
;
máximos nos pontos
,
,
,
.
mínimos
máximos