Com auxílio do Método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre os extremos da função z= f(x, y), sujeita ao vínculo g(x, y)=0.
z=x^2+y^2 ; g(x, y)=x^4+y^4-1.

Passo 1

O enunciado pede os extremos de
f(x,y)=x^2+y^2
sob a restrição
g(x,y)=x^4+y^4-1=0
O conteúdo é otimização com multiplicadores de Lagrange: introduzimos um parâmetro lambda e usamos as condições de estacionaridade de L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambda,g(x,y).

Passo 2

Formamos a Lagrangiana
L(x,y,lambda)=x^2+y^2-lambdal(x^4+y^4-1r)
e impomos as derivadas nulas:
partial Lpartial x=2x-4lambda x^3=0, partial Lpartial y=2y-4lambda y^3=0, partial Lpartial lambda=-(x^4+y^4-1)=0
As duas primeiras dão
2x=4lambda x^3, 2y=4lambda y^3

Passo 3

Das equações 2x=4lambda x^3 e 2y=4lambda y^3 surgem três possibilidades:
  1. x=0.
  2. y=0.
  3. xneq0 e yneq0, o que implica lambda=tfrac12x^2=tfrac12y^2, logo x^2=y^2.

Passo 4

Caso 1: x=0. Da restrição y^4=1 segue y=pm1.
Caso 2: y=0. Da restrição x^4=1 segue x=pm1.
Nesses quatro pontos (pm1,0) e (0,pm1) vale
f=1^2+0^2=1

Passo 5

Caso 3: x^2=y^2 e x,yneq0. Da restrição
x^4+x^4=1 ;Longrightarrow; x^4=tfrac12 ;Longrightarrow; x=pm2^-1/4, y=pm2^-1/4
(com combinações de sinais). Nesses quatro pontos vale
f=2l(2^-1/4r)^2 =2cdot2^-1/2 =raiz2

Passo 6

Comparando os valores, concluímos que:
  • Valor mínimo de f é 1, em (pm1,0) e (0,pm1).
  • Valor máximo de f é raiz2, em l(pm2^-1/4,pm2^-1/4r).

Resposta

Os extremos sujeitos a x^4+y^4=1 são:
mínimos f=1 nos pontos (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1);
máximos f=raiz2 nos pontos l(2^-1/4,2^-1/4r), l(2^-1/4,-2^-1/4r), l(-2^-1/4,2^-1/4r), l(-2^-1/4,-2^-1/4r).

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