1. Se f(x)=integral0^x raizcos t d t, ache o comprimento do arco do gráfico de f do ponto onde x=0 ao ponto onde x=12 pi. (Sugestão: use a identidade cos ^2 12 x=12(1+cos x) e o Teorema 5.8.1.)

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos
f(x)=integral0^xraizcos t,dt e precisamos achar o comprimento de arco do gráfico de f de x=0 até x=tfracpi2. O conteúdo usado será o Teorema de comprimento de arco para curvas y=f(x) diferenciáveis e a identidade
cos^2l(tfracx2r)=tfrac12l(1+cos xr)

Passo 2

Pelo Teorema de comprimento de arco, se y=f(x) é diferenciável em [a,b], então
L = integrala^braiz1+l(f'(x)r)^2,dx

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo à definição de f, temos
f'(x)=raizcos x
Logo,
1+l(f'(x)r)^2=1+cos x

Passo 4

Usando a identidade sugerida, obtém-se
1+cos x=2cos^2l(tfracx2r),
e como em 0<= x<=tfracpi2 vale cos(tfracx2)>=0, segue
raiz1+l(f'(x)r)^2 =raiz2,cosl(tfracx2r)

Passo 5

Substituindo na integral de comprimento de arco,
L=integral0^pi2raiz2,cosl(tfracx2r),dx
Fazendo u=tfracx2, dx=2,du, e os limites vão de u=0 a u=tfracpi4,
L =raiz2cdot2integral0^pi4cos u,du =2raiz2,l[sin ur]0^pi4 =2raiz2,raiz22 =2

Resposta

O comprimento do arco é 2.

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