Resolva as equações diferenciais abaixo:
d yd x=y+e^x

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
dydx=y+e^x
que é linear. Vamos colocá-la na forma padrão
dydx-y=e^x
e resolver usando o método do fator integrante.

Passo 2

O fator integrante é
mu(x)=expgl(-integral 1,dxgr)=e^-x
Multiplicando a equação padrão por mu(x) temos
e^-xdydx-e^-xy= e^-xe^x =1 Longrightarrow ddxl(y,e^-xr)=1

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^-x=integral 1,dx = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, multiplicamos por e^x:
y(x)=e^x,(x + C)=x,e^x + C,e^x

Resposta

y(x)=e^x,(x + C)

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