[2.5 pts] 2) Assinale
se verdadeiro ou
se fálso em cada item abaixo. Não é necessário justificar.
(a) () Sabendo que a familia de curvas
é solução para a EDO
, então uma solução explícita para a condição inicial
é
.
(b) (, ) O PVI:
não possui solução única.
(c) ( A EDO
é exata se
.
(d) ()O fator integrante da EDO inexáta
é
.
(e) ( ) A função
é uma solução singular para a
sabendo que a família de curvas
constante
é solucão geral da mesma.
(a) () Sabendo que a familia de curvas
(b) (, ) O PVI:
(c) ( A EDO
(d) ()O fator integrante da EDO inexáta
(e) ( ) A função
Passo 1
Vamos analisar juntos essas cinco afirmações sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs). Precisamos verificar se cada uma é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Para isso, vamos precisar entender conceitos como soluções de EDOs, condições iniciais, unicidade de soluções, EDOs exatas, fatores integrantes e soluções singulares.
Passo 2
Item (a):
A afirmação diz que, sabendo que a família de curvas
é solução para a EDO
, então uma solução explícita para a condição inicial
é
.
Vamos verificar se essa solução satisfaz a condição inicial:
Substituindo
na solução proposta:
Mas a condição inicial é
, e obtivemos
. Portanto, a solução proposta não satisfaz a condição inicial.
Conclusão: Falso.
Passo 3
Item (b):
A afirmação afirma que o Problema de Valor Inicial (PVI)
, com
, não possui solução única.
Vamos resolver a EDO para verificar a unicidade da solução.
Primeiro, rearranjamos a EDO:
Essa é uma equação diferencial linear. A existência e unicidade da solução são garantidas pelo teorema de existência e unicidade de Picard-Lindelöf, que exige que os coeficientes sejam contínuos no ponto considerado.
No entanto, quando
, o denominador se torna zero, o que pode causar problemas na aplicação do teorema. De fato, a solução geral da EDO é:
Para
, a solução se torna indefinida, indicando que não há solução que satisfaça a condição inicial.
Conclusão: Verdadeiro.
Passo 4
Item (c):
A afirmação diz que a EDO
é exata se
.
Para verificar se a EDO é exata, verificamos se:
onde
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Para que a EDO seja exata, precisamos que:
Cancelando
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
e
):
Portanto, a condição
torna a EDO exata.
Conclusão: Verdadeiro.
Passo 5
Item (d):
A afirmação afirma que o fator integrante da EDO inexata
é
.
Para encontrar o fator integrante, buscamos uma função
tal que:
Se a EDO se torna exata após multiplicar por
, então:
onde
e
.
Calculando:
Igualando as duas expressões:
Dividindo por
(assumindo
):
Rearranjando:
Isso é uma equação diferencial para
:
A solução dessa equação é:
Onde
é uma constante. A afirmação sugere
, que não coincide com
.
Conclusão: Falso.
Passo 6
Item (e):
A afirmação afirma que a função
é uma solução singular para a EDO
, considerando que a família de curvas
(com
constante) é a solução geral da mesma.
Primeiro, vamos verificar se
satisfaz a EDO:
Calculando
:
Substituindo na EDO:
Então,
é uma solução particular da EDO.
Agora, para determinar se é uma solução singular, verificamos se ela não pode ser obtida pela família geral de soluções.
A solução geral dada é
. Para qualquer valor de
, a família de curvas representa uma parábola, mas a solução
não pode ser expressa nessa forma para nenhum
real.
Portanto,
é uma solução singular.
Conclusão: Verdadeiro.
Resposta
(a) F
(b) V
(c) V
(d) F
(e) V
(b) V
(c) V
(d) F
(e) V