[2.5 pts] 2) Assinale V se verdadeiro ou F se fálso em cada item abaixo. Não é necessário justificar.
(a) () Sabendo que a familia de curvas f(x, y)=x^3+2 x^2 y+y^2=c é solução para a EDO (4 x y+3 x^2) d x+(2 y+2 x^2) d y=0, então uma solução explícita para a condição inicial y(0)=-2 é y(x)=-x^2+raizx^4-x^3+4.
(b) (, ) O PVI: x y^prime=2 y-2, y(0)=1 não possui solução única.
(c) ( A EDO (6 x y^3+y sen x) d x+(3 alpha x^2 y^2-cos x) d y=0 é exata se alpha=3.
(d) ()O fator integrante da EDO inexáta x y d x+(2 x^2+3 y^2-20) d y=0 é J(y)=3y.
(e) ( ) A função y=-14 x^2 é uma solução singular para a EDO(y^prime)^2+x y^prime-y=0 sabendo que a família de curvas y=c x+c^2(c constante ) é solucão geral da mesma.

Passo 1

Vamos analisar juntos essas cinco afirmações sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs). Precisamos verificar se cada uma é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Para isso, vamos precisar entender conceitos como soluções de EDOs, condições iniciais, unicidade de soluções, EDOs exatas, fatores integrantes e soluções singulares.

Passo 2

Item (a):
A afirmação diz que, sabendo que a família de curvas f(x, y) = x^3 + 2x^2 y + y^2 = c é solução para a EDO (4xy + 3x^2) dx + (2y + 2x^2) dy = 0 , então uma solução explícita para a condição inicial y(0) = -2 é y(x) = -x^2 + raizx^4 - x^3 + 4 .
Vamos verificar se essa solução satisfaz a condição inicial:
Substituindo x = 0 na solução proposta:
y(0) = -0^2 + raiz0^4 - 0^3 + 4 = raiz4 = 2
Mas a condição inicial é y(0) = -2 , e obtivemos y(0) = 2 . Portanto, a solução proposta não satisfaz a condição inicial.
Conclusão: Falso.

Passo 3

Item (b):
A afirmação afirma que o Problema de Valor Inicial (PVI) x y' = 2y - 2 , com y(0) = 1 , não possui solução única.
Vamos resolver a EDO para verificar a unicidade da solução.
Primeiro, rearranjamos a EDO:
y' = 2y - 2x
Essa é uma equação diferencial linear. A existência e unicidade da solução são garantidas pelo teorema de existência e unicidade de Picard-Lindelöf, que exige que os coeficientes sejam contínuos no ponto considerado.
No entanto, quando x = 0 , o denominador se torna zero, o que pode causar problemas na aplicação do teorema. De fato, a solução geral da EDO é:
y(x) = 1 + 1x + C x^2
Para x = 0 , a solução se torna indefinida, indicando que não há solução que satisfaça a condição inicial.
Conclusão: Verdadeiro.

Passo 4

Item (c):
A afirmação diz que a EDO (6xy^3 + y sin x) dx + (3alpha x^2 y^2 - cos x) dy = 0 é exata se alpha = 3 .
Para verificar se a EDO é exata, verificamos se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
onde M = 6xy^3 + y sin x e N = 3alpha x^2 y^2 - cos x .
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 18xy^2 + sin x
partial Npartial x = 6alpha x y^2 + sin x
Para que a EDO seja exata, precisamos que:
18xy^2 + sin x = 6alpha x y^2 + sin x
Cancelando sin x dos dois lados:
18xy^2 = 6alpha x y^2
Dividindo ambos os lados por 6x y^2 (assumindo x neq 0 e y neq 0 ):
3 = alpha
Portanto, a condição alpha = 3 torna a EDO exata.
Conclusão: Verdadeiro.

Passo 5

Item (d):
A afirmação afirma que o fator integrante da EDO inexata x y dx + (2x^2 + 3y^2 - 20) dy = 0 é J(y) = 3y .
Para encontrar o fator integrante, buscamos uma função J(y) tal que:
J(y) cdot [ x y dx + (2x^2 + 3y^2 - 20) dy ] = 0
Se a EDO se torna exata após multiplicar por J(y) , então:
partial (J M)partial y = partial (J N)partial x
onde M = x y e N = 2x^2 + 3y^2 - 20 .
Calculando:
partial (J y x)partial y = J x + x y dJdy
partial (J (2x^2 + 3y^2 - 20))partial x = J cdot 4x
Igualando as duas expressões:
J x + x y dJdy = 4x J
Dividindo por x (assumindo x neq 0 ):
J + y dJdy = 4 J
Rearranjando:
y dJdy = 3 J
Isso é uma equação diferencial para J(y) :
dJdy = 3y J
A solução dessa equação é:
J(y) = C y^3
Onde C é uma constante. A afirmação sugere J(y) = 3y , que não coincide com J(y) = y^3 .
Conclusão: Falso.

Passo 6

Item (e):
A afirmação afirma que a função y = -14 x^2 é uma solução singular para a EDO (y')^2 + x y' - y = 0 , considerando que a família de curvas y = c x + c^2 (com c constante) é a solução geral da mesma.
Primeiro, vamos verificar se y = -14 x^2 satisfaz a EDO:
Calculando y' :
y' = -12 x
Substituindo na EDO:
(-12 x)^2 + x (-12 x) - (-14 x^2) = 14 x^2 - 12 x^2 + 14 x^2 = 0
Então, y = -14 x^2 é uma solução particular da EDO.
Agora, para determinar se é uma solução singular, verificamos se ela não pode ser obtida pela família geral de soluções.
A solução geral dada é y = c x + c^2 . Para qualquer valor de c , a família de curvas representa uma parábola, mas a solução y = -14 x^2 não pode ser expressa nessa forma para nenhum c real.
Portanto, y = -14 x^2 é uma solução singular.
Conclusão: Verdadeiro.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) V
(d) F
(e) V

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