1. Três componentes elétricos de um computador estão localizados em A(0,0), B(4,0) e C(0,4). Determine a posição de um quarto componente de modo que a demora do sinal seja mínima.

Passo 1

O enunciado pede colocar um ponto P(x,y) de modo a minimizar a soma das distâncias até
A(0,0), B(4,0), C(0,4)
Esse é o problema clássico do ponto de Fermat (ou Weber) para três pontos: quando os ângulos do triângulo formado por A,B,C são todos menores que 120^circ, o minimizador fica dentro do triângulo e satisfaz que os segmentos de P aos vértices formam ângulos de 120^circ entre si.

Passo 2

No triângulo ABC temos
ang<= A = 90^circ, ang<= B = 45^circ, ang<= C = 45^circ,
todos menores que 120^circ. Logo o ponto P fica dentro de ABC e deve satisfazer
ang<= APB = ang<= BPC = ang<= CPA = 120^circ

Passo 3

Para localizar P geometricamente, constrói-se a interseção de duas retas ligando vértices de triângulos equiláteros externos a AB e a AC.
Primeiro, rotacione B(4,0) em -60^circ em torno de A. Assim
X ;=;l(4cos(-60^circ),;4sin(-60^circ)r) =l(2,,-2raiz3r)
Depois, rotacione C(0,4) em +60^circ em torno de A. Assim
Y ;=;l(0cos60^circ-4sin60^circ,;0sin60^circ+4cos60^circr) =l(-2raiz3,;2r)

Passo 4

A reta que liga C(0,4) a X(2,-2raiz3) e a reta que liga B(4,0) a Y(-2raiz3,2) se intersectam em P. Parametrizamos:
r1:;(x,y)=(2t,;4 + t(-4 -2raiz3)),
r2:;(x,y)=(4 + s(-4 -2raiz3),;2s)
Igualando coordenadas obtemos o sistema
2t = 4 - s(4 + 2raiz3), 4 + t(-4 -2raiz3)=2s

Passo 5

Resolvendo esse sistema chega-se a
t = 1 - tfracraiz33, s = 1 - tfracraiz33,
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P = (2t,;2s) ;=;l(2 - tfrac2raiz33,;2 - tfrac2raiz33r)

Resposta

A posição que minimiza a soma das distâncias (e, portanto, a demora do sinal) é
l(2 - tfrac2raiz33,;2 - tfrac2raiz33r)

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