- Três componentes elétricos de um computador estão localizados em
e
. Determine a posição de um quarto componente de modo que a demora do sinal seja mínima.
Passo 1
O enunciado pede colocar um ponto
de modo a minimizar a soma das distâncias até
Esse é o problema clássico do ponto de Fermat (ou Weber) para três pontos: quando os ângulos do triângulo formado por
são todos menores que
, o minimizador fica dentro do triângulo e satisfaz que os segmentos de
aos vértices formam ângulos de
entre si.
Passo 2
No triângulo
temos
todos menores que
. Logo o ponto
fica dentro de
e deve satisfazer
Passo 3
Para localizar
geometricamente, constrói-se a interseção de duas retas ligando vértices de triângulos equiláteros externos a
e a
.
Primeiro, rotacione em
em torno de
. Assim
Primeiro, rotacione
Depois, rotacione
em
em torno de
. Assim
Passo 4
A reta que liga
a
e a reta que liga
a
se intersectam em
. Parametrizamos:
Igualando coordenadas obtemos o sistema
Passo 5
Resolvendo esse sistema chega-se a
logo
Resposta
A posição que minimiza a soma das distâncias (e, portanto, a demora do sinal) é