1. A resistência de uma viga retangular varia como o produto de sua largura pelo quadrado de sua profundidade. Determine as dimensões da viga de maior resistência, cortada de um toro cilíndrico, com seções elípticas de eixos maior e menor medindo 24 cm e 16 cm , respectivamente.

Passo 1

O enunciado diz que queremos escolher uma viga de seção retangular inscrita numa elipse de eixos maiores 24 cm e menores 16 cm, de modo a maximizar sua resistência, que varia proporcionalmente ao produto da largura pelo quadrado da profundidade. O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar o método de Lagrange.

Passo 2

Sejam a=12 cm e b=8 cm os semi-eixos da elipse. Se chamarmos de 2x a largura da viga e de 2y a profundidade, a resistência R satisfaz
Rpropto (2x),(2y)^2 = 8,x,y^2,
enquanto o retângulo deve caber na elipse
x^2a^2 + y^2b^2 = 1 Longrightarrow x^2144 + y^264 = 1

Passo 3

Usamos multiplicador de Lagrange para maximizar
f(x,y) = 8,x,y^2
sujeito a
g(x,y)=x^2144+y^264-1=0
As condições nabla f = lambda,nabla g dão
partial fpartial x=8,y^2 = lambda2x144, partial fpartial y=16,x,y = lambda2y64
Da segunda equação, para yneq0, lambda=512,x. Substituindo na primeira:
8,y^2 = 512,xcdot x144 Longrightarrow 8,y^2 = 512,x^2144 Longrightarrow 9,y^2 = 8,x^2 Longrightarrow y^2 = 89,x^2

Passo 4

Substituindo y^2=(8/9)x^2 na restrição
x^2144 + tfrac89x^264 = 1 Longrightarrow x^2144 + x^272 = 1 Longrightarrow 3x^2144 = 1 Longrightarrow x^2 = 48 Longrightarrow x = raiz48 = 4raiz3
Logo
y = 2raiz23,x = 2raiz23,4raiz3 = 8raiz63

Passo 5

As dimensões da viga são
largura = 2x = 8raiz3 cm, profundidade = 2y = 16raiz63 cm

Resposta

A viga de maior resistência terá
largura = 8raiz3,cmapprox13,86 cm, profundidade = 16raiz63,cmapprox13,06 cm

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