- A resistência de uma viga retangular varia como o produto de sua largura pelo quadrado de sua profundidade. Determine as dimensões da viga de maior resistência, cortada de um toro cilíndrico, com seções elípticas de eixos maior e menor medindo 24 cm e 16 cm , respectivamente.
Passo 1
O enunciado diz que queremos escolher uma viga de seção retangular inscrita numa elipse de eixos maiores
cm e menores
cm, de modo a maximizar sua resistência, que varia proporcionalmente ao produto da largura pelo quadrado da profundidade. O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar o método de Lagrange.
Passo 2
Sejam
cm e
cm os semi-eixos da elipse. Se chamarmos de
a largura da viga e de
a profundidade, a resistência
satisfaz
enquanto o retângulo deve caber na elipse
Passo 3
Usamos multiplicador de Lagrange para maximizar
sujeito a
As condições
dão
Da segunda equação, para
,
. Substituindo na primeira:
Passo 4
Substituindo
na restrição
Logo
Passo 5
As dimensões da viga são
Resposta
A viga de maior resistência terá