[2.5 pts] 2) Assinale V se verdadero ou F se fálso em cada item abaixo. Não é necessário justificar.
(a) () Sabendo que a família de curvas
é solução para a EDO
, então uma solução explícita para a condição inicial
é
.
(b) (.) O PVI:
não possui solução única.
(c) () A EDO
é exata se
.
(d) ()O fator integrante da EDO inexata
é
. que a família de curvas
constante
é solucão geral da mesma.
(a) () Sabendo que a família de curvas
(b) (.) O PVI:
(c) () A EDO
(d) ()O fator integrante da EDO inexata
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Verdadeiro ou Falso que envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Precisamos analisar cada afirmativa e decidir se é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos usar conceitos de EDOs como soluções de equações, condições iniciais, unicidade de soluções e fatores integrantes.
Passo 2
Item (a):
Precisamos verificar se a função dada é uma solução explícita para a EDO com a condição inicial
.
Precisamos verificar se a função dada
Primeiro, verificamos a condição inicial substituindo
:
Mas a condição inicial exige
, o que não é atendido. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 3
Item (b):
Analisamos o Problema de Valor Inicial (PVI) com
.
Analisamos o Problema de Valor Inicial (PVI)
A unicidade de solução para EDOs de primeira ordem depende das condições do Teorema de Existência e Unicidade. Neste caso, a função
não é definida em
porque resultaria em divisão por zero. Portanto, não há garantia de solução única, tornando a afirmação verdadeira.
Passo 4
Item (c):
Verificamos se a EDO é exata para
.
Verificamos se a EDO
Uma EDO é exata se
, onde
e
.
Calculando:
Para que sejam iguais:
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Item (d):
Precisamos verificar se o fator integrante torna a EDO
exata e se a família de curvas
é solução geral.
Precisamos verificar se o fator integrante
Multiplicando a EDO original pelo fator integrante:
Simplificando:
Verificando a exatidão:
Como não são iguais, a EDO não se torna exata com esse fator integrante. Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
(a) F
(b) V
(c) V
(d) F
(b) V
(c) V
(d) F