[2.5 pts] 2) Assinale V se verdadero ou F se fálso em cada item abaixo. Não é necessário justificar.
(a) () Sabendo que a família de curvas f(x, y)=x^3+2 x^2 y+y^2=c é solução para a EDO (4 x y+3 x^2) d x+(2 y+2 x^2) d y=0, então uma solução explícita para a condição inicial y(0)=-2 é y(x)=-x^2+raizx^4-x^3+4.
(b) (.) O PVI: x y^prime=2 y-2, y(0)=1 não possui solução única.
(c) () A EDO (6 x y^3+y sen x) d x+(3 alpha x^2 y^2-cos x) d y=0 é exata se alpha=3.
(d) ()O fator integrante da EDO inexata x y d x+(2 x^2+3 y^2-20) d y=0 é J(y)=3y. que a família de curvas y=c x+c^2(c constante ) é solucão geral da mesma.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Verdadeiro ou Falso que envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Precisamos analisar cada afirmativa e decidir se é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos usar conceitos de EDOs como soluções de equações, condições iniciais, unicidade de soluções e fatores integrantes.

Passo 2

Item (a):
Precisamos verificar se a função dada y(x) = -x^2 + raizx^4 - x^3 + 4 é uma solução explícita para a EDO com a condição inicial y(0) = -2 .
Primeiro, verificamos a condição inicial substituindo x = 0 :
y(0) = -0^2 + raiz0^4 - 0^3 + 4 = raiz4 = 2
Mas a condição inicial exige y(0) = -2 , o que não é atendido. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 3

Item (b):
Analisamos o Problema de Valor Inicial (PVI) x y' = 2y - 2 com y(0) = 1 .
A unicidade de solução para EDOs de primeira ordem depende das condições do Teorema de Existência e Unicidade. Neste caso, a função f(x, y) = 2y - 2x não é definida em x = 0 porque resultaria em divisão por zero. Portanto, não há garantia de solução única, tornando a afirmação verdadeira.

Passo 4

Item (c):
Verificamos se a EDO (6x y^3 + y sin x) dx + (3alpha x^2 y^2 - cos x) dy = 0 é exata para alpha = 3 .
Uma EDO é exata se partial Mpartial y = partial Npartial x , onde M = 6x y^3 + y sin x e N = 3alpha x^2 y^2 - cos x .
Calculando:
partial Mpartial y = 18x y^2 + sin x
partial Npartial x = 6alpha x y^2 + sin x
Para que sejam iguais:
18x y^2 + sin x = 6alpha x y^2 + sin x
18x y^2 = 6alpha x y^2
alpha = 3
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Item (d):
Precisamos verificar se o fator integrante J(y) = 3y torna a EDO x y dx + (2x^2 + 3y^2 - 20) dy = 0 exata e se a família de curvas y = c x + c^2 é solução geral.
Multiplicando a EDO original pelo fator integrante:
3y cdot x y dx + 3y (2x^2 + 3y^2 - 20) dy = 0
Simplificando:
3x dx + (6x^2/y + 9y - 60/y) dy = 0
Verificando a exatidão:
partial Mpartial y = 0
partial Npartial x = 12x/y
Como não são iguais, a EDO não se torna exata com esse fator integrante. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) V
(d) F

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