Resolva as seguintes equações redutíveis a homogênea:
d yd x=x+y-2x-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx=x+y-2x-1
e pede para resolvê-la como uma equação “redutível a homogênea”. Vamos usar uma translação de variáveis para eliminar os termos constantes e, em seguida, resolver por substituição homogênea.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
t = x - 1, z = y - 1
Assim, x = t + 1 e y = z + 1. Como dy/dx = dz/dt, reescrevemos a equação em t,z.

Passo 3

Substituindo na equação original,
dzdt = (t+1)+(z+1)-2t = t+zt = 1 + zt

Passo 4

Agora a equação
dzdt=1+zt
é homogênea em z e t. Usamos a substituição z = v,t, logo
dzdt = v + tdvdt
Assim,
v + tdvdt = 1 + v Longrightarrow tdvdt=1 Longrightarrow dvdt=1t
Integramos em t:
v = lnl|tr| + C

Passo 5

Voltando a z e t:
z = v,t = tl(ln|t| + Cr)
Como t = x-1 e z = y-1, obtemos
y - 1 = (x-1)l(ln|x-1| + Cr)
Portanto,
y = 1 + (x-1)l(ln|x-1| + Cr)

Resposta

y = 1 + (x-1)l(ln|x-1| + Cr)

Exercícios relacionados