Use o item (c) do Teorema 7.1.1 para mostrar que Le^(a+i b) r=s-a+i b(s-a)^2+b^2, onde a e b são reais e i^2=-1. Discuta como a fórmula de Euler pode então ser usada para deduzir os resultados
l L(e^a t cos b t=s-a(s-a)^2+b^2 L(e^a t sen b t=b(s-a)^2+b^2

Passo 1

O enunciado pede para usar o item (c) do Teorema 7.1.1 (propriedade de deslocamento no domínio de s) para obter
Le^(a+i b)t
e em seguida, com a fórmula de Euler, deduzir as transformadas de e^a tcos(bt) e e^a tsin(bt).

Passo 2

O item (c) do Teorema 7.1.1 diz que, se Lf(t)=F(s), então
Le^a tf(t)=F(s-a)
Tomemos f(t)=e^i b t. Sabemos que
Le^i b t=integral0^inftye^-s te^i b t,dt =1s-i b, Re(s)>0
Pelo deslocamento,
Le^(a+i b)t =Le^a te^i b t =1(s-a)-i b, Re(s)>a

Passo 3

Racionalizamos o denominador:
1(s-a)-i b =(s-a)+i bl((s-a)-i br)l((s-a)+i br) =s-a+i b(s-a)^2+b^2
Logo
Le^(a+i b)t =s-a+i b(s-a)^2+b^2

Passo 4

Pela fórmula de Euler,
e^i b t=cos(bt)+isin(bt),
logo
e^(a+i b)t =e^a tl(cos(bt)+isin(bt)r)
Aplicando a transformada e usando linearidade:
Le^a tcos(bt) +i,Le^a tsin(bt) =s-a+i b(s-a)^2+b^2
Igualando parte real e imaginária, obtemos
Le^a tcos(bt) =s-a(s-a)^2+b^2, Le^a tsin(bt) =b(s-a)^2+b^2

Resposta

Le^(a+i b)t =s-a+i b(s-a)^2+b^2
Le^a tcos(bt) =s-a(s-a)^2+b^2
Le^a tsin(bt) =b(s-a)^2+b^2

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