Com auxílio do Método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre os extremos da função
, sujeita ao vínculo
.
.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos de
sujeito à restrição
O conteúdo envolve montar o sistema
junto com a equação de vínculo
.
Passo 2
Escrevemos o sistema de Lagrange:
Passo 3
Calculamos as derivadas:
Logo o sistema é
Passo 4
Consideramos primeiro
e
. Dividindo cada equação pelos fatores não nulos:
Igualando
obtemos
Substituindo em
dá
e então
, ou seja
. Isso gera quatro pontos críticos:
com
.
Passo 5
Agora consideramos casos em que um dos pontos é zero.
Caso
: da restrição vem
, ou seja
. Nestes pontos
Caso
: da restrição vem
, ou seja
. Nestes pontos
Passo 6
Resumindo os valores de
Como , temos mínimo global
nos pontos com zero e máximo global
nos quatro pontos com
.
Resposta
Máximos:
com
.
Mínimos: com
.
Mínimos: