Com auxílio do Método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre os extremos da função z= f(x, y), sujeita ao vínculo g(x, y)=0.
(j) z=x^2 y^2 ; g(x, y)=4 x^2+y^2-8.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos de
f(x,y)=x^2y^2
sujeito à restrição
g(x,y)=4x^2+y^2-8=0
O conteúdo envolve montar o sistema
nabla f = lambda,nabla g
junto com a equação de vínculo g(x,y)=0.

Passo 2

Escrevemos o sistema de Lagrange:
partial fpartial x= lambdapartial gpartial x, partial fpartial y= lambdapartial gpartial y, 4x^2+y^2=8

Passo 3

Calculamos as derivadas:
partial fpartial x=2x,y^2, partial fpartial y=2y,x^2,
partial gpartial x=8x, partial gpartial y=2y
Logo o sistema é
2x,y^2 = lambda,8x, 2y,x^2 = lambda,2y, 4x^2+y^2=8

Passo 4

Consideramos primeiro xneq0 e yneq0. Dividindo cada equação pelos fatores não nulos:
y^2=4lambda, x^2=lambda
Igualando lambda obtemos
x^2=y^24 ;Longrightarrow; y^2=4x^2
Substituindo em 4x^2+y^2=8
4x^2+4x^2=8 ;Longrightarrow; x^2=1 ;Longrightarrow; x=pm1,
e então y^2=4, ou seja y=pm2. Isso gera quatro pontos críticos:
(1,2),;(1,-2),;(-1,2),;(-1,-2),
com f=1^2cdot2^2=4.

Passo 5

Agora consideramos casos em que um dos pontos é zero.
Caso x=0: da restrição vem y^2=8, ou seja y=pm2raiz2. Nestes pontos
f(0,pm2raiz2)=0
Caso y=0: da restrição vem 4x^2=8, ou seja x=pmraiz2. Nestes pontos
f(pmraiz2,0)=0

Passo 6

Resumindo os valores de
Como , temos mínimo global nos pontos com zero e máximo global nos quatro pontos com .

Resposta

Máximos: (1,2),(1,-2),(-1,2),(-1,-2) com f=4.
Mínimos: (0,2raiz2),(0,-2raiz2),(raiz2,0),(-raiz2,0) com f=0.

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