Com auxílio do Método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre os extremos da função z= f(x, y), sujeita ao vínculo g(x, y)=0.
z=x^2+2 y^2 ; g(x, y)=3 x+y-1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar extremos de
f(x,y)=x^2+2y^2
sob a restrição
g(x,y)=3x+y-1=0
usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos montar o Lagrangeano e resolver as condições de ótimo.

Passo 2

Definimos o Lagrangeano
L(x,y,lambda)=x^2+2y^2-lambda,(3x+y-1)
As condições de estacionaridade vêm de
partialLpartial x=0, partialLpartial y=0, partialLpartial lambda=0

Passo 3

Calculando cada derivada:
partialLpartial x=2x-3lambda=0 Longrightarrow x=3lambda2,
partialLpartial y=4y-lambda=0 Longrightarrow y=lambda4,
partialLpartial lambda=-(3x+y-1)=0 Longrightarrow 3x+y=1
Substituindo x e y na restrição:
3l(tfrac3lambda2r)+tfraclambda4=1 Longrightarrow 9lambda2+lambda4=1 Longrightarrow 19lambda4=1 Longrightarrow lambda=419
Logo
x=32cdot419=619, y=14cdot419=119

Passo 4

Para classificar, note que o Hessiano de f é positivo definido (matriz diag (2,4)), então o ponto encontrado é um mínimo sob a reta 3x+y=1. Como fto+infty quando (x,y) se afasta da reta, não há máximo.

Resposta

O único extremo é um mínimo em
(x,y)=l(tfrac619,,tfrac119r),
com valor
zmin=fl(tfrac619,tfrac119r) =38361

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