[2 pts] Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F). (Acerto:
. Erro:
. Em bran 0,0 ).
(a) (F) Se
então
é convergente.
(b) ( ) A série
é divergente.
(c) (V) A série
é divergente.
(d)
A série
é divergente.
(e) ( ) Se
é convergente então
é convergente.
(a) (F) Se
(b) ( ) A série
(c) (V) A série
(d)
(e) ( ) Se
Passo 1
O enunciado nos pede para classificar cada afirmação sobre séries numéricas como verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo envolve testes de convergência: condição necessária da convergência (
), séries alternadas (teste de Leibniz), séries do tipo p (p-series) e a noção de convergência absoluta versus condicional.
Passo 2
(a) “Se
então
é convergente.”
Explicação: ter é condição necessária, mas não suficiente para convergência. Contraexemplo clássico:
tem limite zero, mas
diverge.
Logo, a afirmação é falsa.
Explicação: ter
Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
(b) “A série
é divergente.”
Essa é a série harmônica alternada. Pelas condições do teste de Leibniz, com decrescente a zero, a soma converge (condicionalmente).
Portanto, a afirmação é falsa.
Essa é a série harmônica alternada. Pelas condições do teste de Leibniz, com
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
(c) “A série
é divergente.”
Trata-se da p-série com . Sabe-se que p-series divergem quando
. Aqui
, logo diverge.
A afirmação é verdadeira.
Trata-se da p-série com
A afirmação é verdadeira.
Passo 5
(d) “A série
é divergente.”
Reescrevendo, . É p-série com
, então diverge.
A afirmação é verdadeira.
Reescrevendo,
A afirmação é verdadeira.
Passo 6
(e) “Se
é convergente então
é convergente.”
Isso seria afirmar que toda convergência é absoluta, mas há convergências apenas condicionais (por exemplo, a série alternada harmônica). Logo, a afirmação é falsa.
Isso seria afirmar que toda convergência é absoluta, mas há convergências apenas condicionais (por exemplo, a série alternada harmônica). Logo, a afirmação é falsa.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) V
(d) V
(e) F
(b) F
(c) V
(d) V
(e) F