[2 pts] Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F). (Acerto: +0,4. Erro: -0,3. Em bran 0,0 ).
(a) (F) Se \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é convergente.
(b) ( ) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} é divergente.
(c) (V) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} é divergente.
(d) (\quad) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[5]{n^{4}}} é divergente.
(e) ( ) Se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é convergente então \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right| é convergente.

Passo 1

O enunciado nos pede para classificar cada afirmação sobre séries numéricas como verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo envolve testes de convergência: condição necessária da convergência ( \lim_{n\to\infty}a_n=0), séries alternadas (teste de Leibniz), séries do tipo p (p-series) e a noção de convergência absoluta versus condicional.

Passo 2

(a) “Se \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é convergente.”
Explicação: ter \lim_{n\to\infty}a_n=0 é condição necessária, mas não suficiente para convergência. Contraexemplo clássico: a_n=\tfrac1n tem limite zero, mas \sum1/n diverge.
Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

(b) “A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} é divergente.”
Essa é a série harmônica alternada. Pelas condições do teste de Leibniz, com b_n=1/n decrescente a zero, a soma converge (condicionalmente).
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

(c) “A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é divergente.”
Trata-se da p-série com p=1. Sabe-se que p-series divergem quando p\le1. Aqui p=1, logo diverge.
A afirmação é verdadeira.

Passo 5

(d) “A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[5]{n^{4}}} é divergente.”
Reescrevendo, \frac{1}{\sqrt[5]{n^{4}}}=n^{-4/5}. É p-série com p=\tfrac{4}{5}<1, então diverge.
A afirmação é verdadeira.

Passo 6

(e) “Se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é convergente então \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}| é convergente.”
Isso seria afirmar que toda convergência é absoluta, mas há convergências apenas condicionais (por exemplo, a série alternada harmônica). Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) V
(d) V
(e) F

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