Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, calcule sua soma. Justifique suas respostas,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3{n}}{2{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{2^{n}}
como convergente ou divergente. O conteúdo aqui é séries infinitas, em especial a série geométrica.

Passo 2

Note que o termo geral pode ser escrito como
a_{n} = \frac{3^{n}}{2^{n}} = \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{n}.
Trata-se, portanto, de uma série geométrica com primeiro termo a_{1} = \tfrac{3}{2} e razão r = \tfrac{3}{2}.

Passo 3

Para séries geométricas vale o critério: se \lvert r\rvert < 1, a série converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty} a_{1}\,r^{\,n-1} = \frac{a_{1}}{1-r}.
Se \lvert r\rvert \ge 1, a série diverge. Aqui temos \lvert r\rvert = \tfrac{3}{2} > 1, então a série diverge.

Passo 4

Como \lvert r\rvert>1, os termos não vão a zero (na verdade ficam cada vez maiores), e pelo critério da série geométrica ou pelo teste do termo geral concluímos que a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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