1(1,4) Uma empresa fabrica e vende um produto cujo custo para produzir x unidades é dado por C(x)= 500+20 x. O preço de venda por unidade depende da quantidade vendida e é dado por p(x)=100-2 x. Quantas unidades x devem ser produzidas e vendidas para maximizar o lucro da empresa? Qual será o lucro máximo?

Passo 1

O enunciado dá o custo de produção
C(x)=500+20x
e o preço de venda por unidade
p(x)=100-2x.
Queremos maximizar o lucro, que é dado pela receita menos o custo. O conteúdo aqui é otimização de função quadrática usando derivadas.

Passo 2

A receita R(x) é o preço por unidade vezes a quantidade vendida, isto é,
R(x)=x\cdot p(x)=x\,(100-2x)=100x-2x^2.

Passo 3

O lucro \pi(x) é a diferença entre receita e custo, então
\pi(x)=R(x)-C(x)=(100x-2x^2)-(500+20x)=-2x^2+80x-500.

Passo 4

Para achar o ponto de máximo, derivamos \pi(x) em relação a x e igualamos a zero:
\pi'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-2x^2+80x-500\bigr)=-4x+80,
-4x+80=0\quad\Longrightarrow\quad x=20.

Passo 5

Verificamos que é máximo conferindo a segunda derivada:
\pi''(x)=\frac{d}{dx}(-4x+80)=-4<0,
logo há um máximo em x=20.

Passo 6

Substituindo x=20 na expressão de \pi(x) para achar o lucro máximo:
\pi(20)=-2\,(20)^2+80\,(20)-500=-800+1600-500=300.

Resposta

Serão produzidas e vendidas 20 unidades para obter o lucro máximo de \,300.

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