Uma empresa fabrica e vende um produto cujo custo para produzir
unidades é dado por
. O preço de venda por unidade depende da quantidade vendida e é dado por
. Quantas unidades
devem ser produzidas e vendidas para maximizar o lucro da empresa? Qual será o lucro máximo?
Passo 1
O enunciado dá o custo de produção
e o preço de venda por unidade
Queremos maximizar o lucro, que é dado pela receita menos o custo. O conteúdo aqui é otimização de função quadrática usando derivadas.
Passo 2
A receita
é o preço por unidade vezes a quantidade vendida, isto é,
Passo 3
O lucro
é a diferença entre receita e custo, então
Passo 4
Para achar o ponto de máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 5
Verificamos que é máximo conferindo a segunda derivada:
logo há um máximo em
.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
para achar o lucro máximo:
Resposta
Serão produzidas e vendidas
unidades para obter o lucro máximo de
.