2(1,5) Resolva os limites abaixo usando a regra de L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{x}-1-2 x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1-2x}{x^{2}}
usando a regra de L’H^opital. O conte’udo envolvido 'e o tratamento de limites do tipo indeterminado \tfrac{0}{0} por deriva\c{c}~ao de numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0:
e^{0}-1-2\cdot 0 = 1-1-0 = 0,
0^{2} = 0.
Logo, temos 0/0, condi\c{c}~ao para aplicar L’H^opital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador em rela\c{c}~ao a x:
numerador \to \tfrac{d}{dx}\bigl(e^{x}-1-2x\bigr)=e^{x}-2,
denominador \to \tfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Pela regra de L’H^opital,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1-2x}{x^{2}} =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-2}{2x}.

Passo 4

Agora avaliamos
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-2}{2x}.
Quando x\to 0^{+}, e^{x}\to1, então o numerador tende a 1-2=-1 (não zero) e o denominador tende a 0^{+}. Portanto a fração tende a -\infty.

Resposta

-\infty

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