Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Justifique suas
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln n}}

Passo 1

Temos a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{\ln n}}
e queremos decidir se ela converge ou diverge. Este é um problema de testes de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o teste da integral para séries da forma \sum a_n com a_n = f(n), onde f é positiva, contínua e decrescente para x\ge2.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = \frac{1}{x\sqrt{\ln x}},
válida para x>1. Observamos que f(x)>0. Para aplicar o teste da integral, também é necessário que f seja decrescente em [2,\infty). De fato, podemos verificar que
f'(x) = -\frac{1}{x^2\sqrt{\ln x}} - \frac{1}{2}\,\frac{1}{x^2(\ln x)^{3/2}} <0 \quad\text{para }x\ge2,
logo f é decrescente a partir de x=2.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral avaliando
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\sqrt{\ln x}}.
Fazemos a substituição t = \ln x, de modo que dt = \frac{dx}{x}. Assim
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\sqrt{\ln x}} = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{t}} = \left[2\sqrt{t}\,\right]_{t=\ln 2}^{t\to\infty} = \lim_{T\to\infty}2\sqrt{T} \;-\;2\sqrt{\ln 2} = \infty.
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{\ln n}} é divergente.

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