[2.0 pts] 3) Considere a EDO:
.
[0.5.pt] (i) Escreva a EDO na forma
e mostre que
e
são homogêneas de mesmo grau.
[1.5 pt] (ii) Determine a substituição a ser feita e encontre a solução geral da EDO.
[0.5.pt] (i) Escreva a EDO na forma
[1.5 pt] (ii) Determine a substituição a ser feita e encontre a solução geral da EDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais e o conceito de funções homogêneas. Precisamos reorganizar a EDO para mostrar que ela é homogênea e, depois, resolver usando a substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO no formato
. Temos:
Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
e
são funções homogêneas do mesmo grau. Uma função
é homogênea de grau
se, ao multiplicarmos
e
por uma constante
, a função se multiplica por
.
Para
:
Para
:
Ambas são homogêneas de grau 1, pois aparecem multiplicadas por
.
Passo 4
Como
e
são homogêneas de grau 1, podemos usar a substituição
. Isso simplifica a equação, pois
.
Vamos derivar
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
e
na EDO original:
Simplificando:
Passo 6
Isolando os termos com
:
Então:
Passo 7
Vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Passo 8
Resolvendo a integral à esquerda:
Que pode ser dividida em duas integrais:
Integrando:
À direita, a integral é:
Passo 9
Juntando tudo:
Multiplicando por
para simplificar:
Onde
.
Passo 10
Substituindo
de volta:
Podemos deixar assim a solução geral, ou reorganizar conforme desejado.
Resposta
A solução geral da EDO é dada por
onde
é a constante de integração.