[2.0 pts] 3) Considere a EDO: d yd x=y-xy+x.
[0.5.pt] (i) Escreva a EDO na forma M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 e mostre que M e N são homogêneas de mesmo grau.
[1.5 pt] (ii) Determine a substituição a ser feita e encontre a solução geral da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo dydx=y - xy + x. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais e o conceito de funções homogêneas. Precisamos reorganizar a EDO para mostrar que ela é homogênea e, depois, resolver usando a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO no formato M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Temos:
dydx = y - xy + x
Multiplicando ambos os lados por (y + x) e rearranjando:
(y + x) dy = (y - x) dx
Subtraindo (y + x) dy de ambos os lados:
(y - x) dx - (y + x) dy = 0
Então, identificamos:
M(x, y) = y - x e N(x, y) = -(y + x)

Passo 3

Agora, vamos mostrar que M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Uma função f(x, y) é homogênea de grau n se, ao multiplicarmos x e y por uma constante t, a função se multiplica por t^n.
Para M(x, y) = y - x:
M(tx, ty) = ty - tx = t(y - x) = t cdot M(x, y)
Para N(x, y) = -(y + x):
N(tx, ty) = -(ty + tx) = -t(y + x) = t cdot N(x, y)
Ambas são homogêneas de grau 1, pois aparecem multiplicadas por t^1.

Passo 4

Como M e N são homogêneas de grau 1, podemos usar a substituição v = yx. Isso simplifica a equação, pois y = v x.
Vamos derivar y em relação a x:
dydx = v + x dvdx

Passo 5

Substituindo y = v x e dydx = v + x dvdx na EDO original:
v + x dvdx = v x - xv x + x = x(v - 1)x(v + 1) = v - 1v + 1
Simplificando:
v + x dvdx = v - 1v + 1

Passo 6

Isolando os termos com dvdx:
x dvdx = v - 1v + 1 - v = v - 1 - v(v + 1)v + 1 = v - 1 - v^2 - vv + 1 = -v^2 -1v + 1
Então:
dvdx = -v^2 -1x(v + 1)

Passo 7

Vamos separar as variáveis v e x:
(v + 1) dv-v^2 -1 = dxx
Integrando ambos os lados:
integral v + 1-v^2 -1 dv = integral 1x dx

Passo 8

Resolvendo a integral à esquerda:
integral v + 1-v^2 -1 dv = -integral v + 1v^2 +1 dv
Que pode ser dividida em duas integrais:
- ( integral vv^2 +1 dv + integral 1v^2 +1 dv )
Integrando:
- ( 12 ln |v^2 +1| + tan^-1(v) )
À direita, a integral é:
ln |x| + C

Passo 9

Juntando tudo:
- 12 ln (v^2 +1) - tan^-1(v) = ln |x| + C
Multiplicando por -1 para simplificar:
12 ln (v^2 +1) + tan^-1(v) = -ln |x| + C'
Onde C' = -C.

Passo 10

Substituindo v = yx de volta:
12 ln ( ( yx )^2 +1 ) + tan^-1( yx ) = -ln |x| + C'
Podemos deixar assim a solução geral, ou reorganizar conforme desejado.

Resposta

A solução geral da EDO é dada por
12 ln ( ( yx )^2 +1 ) + tan^-1( yx ) = -ln |x| + C,
onde C é a constante de integração.

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