Exemplo 18: Um carro de testes partindo do repouso de um márco numa pista retilínea especial, realiza um certo percurso, de modo que a posição do carro em relação ao marco inicial de acordo com o computador de bordo, é dada pela função x=2,4 t^2-0,12 t^3 com x medido em metros e t medido em segundos. Determinar:
a) A velocidade instantânea do carro no instante t=5,0 s.
b) A aceleração do carro em t=10,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um carro que parte do repouso e a posição dele em relação ao marco inicial é dada pela função x = 2,4 t^2 - 0,12 t^3 , onde x está em metros e t em segundos. O exercício pede para determinar:
a) A velocidade instantânea do carro no instante t = 5,0 segundos.
b) A aceleração do carro em t = 10,0 segundos.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas na física, que nos ajuda a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade instantânea no instante t = 5,0 segundos.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Basicamente, ela nos diz o quão rápido a posição está mudando naquele momento.
Então, vamos derivar a função x(t) :
v(t) = dxdt = ddt ( 2,4 t^2 - 0,12 t^3 )
Derivando cada termo:
v(t) = 2,4 cdot 2 t^1 - 0,12 cdot 3 t^2 = 4,8 t - 0,36 t^2
Agora, substituímos t = 5 segundos na expressão da velocidade:
v(5) = 4,8 cdot 5 - 0,36 cdot 5^2 = 24 - 0,36 cdot 25 = 24 - 9 = 15 , m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração do carro em t = 10,0 segundos.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Então, vamos derivar a função da velocidade v(t) :
a(t) = dvdt = ddt ( 4,8 t - 0,36 t^2 )
Derivando cada termo:
a(t) = 4,8 - 0,72 t
Agora, substituímos t = 10 segundos na expressão da aceleração:
a(10) = 4,8 - 0,72 cdot 10 = 4,8 - 7,2 = -2,4 , m/s^2

Resposta

a) A velocidade instantânea no instante t = 5,0 segundos é de 15 m/s.
b) A aceleração do carro em t = 10,0 segundos é de -2,4 m/s².

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