Exemplo 18: Um carro de testes partindo do repouso de um márco numa pista retilínea especial, realiza um certo percurso, de modo que a posição do carro em relação ao marco inicial de acordo com o computador de bordo, é dada pela função
medido em metros e
medido em segundos. Determinar:
a) A velocidade instantânea do carro no instante
.
b) A aceleração do carro em
.
a) A velocidade instantânea do carro no instante
b) A aceleração do carro em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um carro que parte do repouso e a posição dele em relação ao marco inicial é dada pela função
, onde
está em metros e
em segundos. O exercício pede para determinar:
a) A velocidade instantânea do carro no instante
segundos.
b) A aceleração do carro em
segundos.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas na física, que nos ajuda a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade instantânea no instante
segundos.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Basicamente, ela nos diz o quão rápido a posição está mudando naquele momento.
Então, vamos derivar a função
:
Derivando cada termo:
Agora, substituímos
segundos na expressão da velocidade:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração do carro em
segundos.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Então, vamos derivar a função da velocidade
:
Derivando cada termo:
Agora, substituímos
segundos na expressão da aceleração:
Resposta
a) A velocidade instantânea no instante
segundos é de 15 m/s.
b) A aceleração do carro em
segundos é de -2,4 m/s².