Sabendo-se que
é uma solução da equação
encontre sua solução geral.
Passo 1
Aqui a ideia é usar a técnica de redução de ordem para achar uma segunda solução independente à partir de uma já conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação
x y’’ - y’ + 4x^3 y = 0
na forma padrão y’’ + P(x)y’ + Q(x)y = 0. Como x>0, dividimos tudo por x:
x y’’ - y’ + 4x^3 y = 0
na forma padrão y’’ + P(x)y’ + Q(x)y = 0. Como x>0, dividimos tudo por x:
Daí identificamos P(x) = -1/x e Q(x) = 4x^2.
Passo 3
A fórmula de redução de ordem diz que, se y₁(x) é uma solução, então uma segunda solução y₂(x) pode ser obtida por
Aqui
e portanto
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Passo 4
Para calcular
vamos usar a substituição u = x^2 ⇒ du = 2x,dx ⇒ x,dx = du/2. Assim:
Então
Como multiplicar por constante não muda independência, podemos escolher y₂(x)=sin(x^2).
Passo 5
Com as duas soluções independentes y₁=cos(x^2) e y₂=sin(x^2), a solução geral é
onde C₁ e C₂ são constantes arbitrárias.
Resposta
y(x)=C_{1}\cos\bigl(x{2}\bigr)+C_{2}\sin\bigl(x{2}\bigr)