Sabendo-se que y1=cos (x^2) é uma solução da equação
x y^prime prime-y^prime+4 x^3 y=0, x>0
encontre sua solução geral.

Passo 1

Aqui a ideia é usar a técnica de redução de ordem para achar uma segunda solução independente à partir de uma já conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação
x y’’ - y’ + 4x^3 y = 0
na forma padrão y’’ + P(x)y’ + Q(x)y = 0. Como x>0, dividimos tudo por x:
y'' - 1xy' + 4x^2 y = 0
Daí identificamos P(x) = -1/x e Q(x) = 4x^2.

Passo 3

A fórmula de redução de ordem diz que, se y₁(x) é uma solução, então uma segunda solução y₂(x) pode ser obtida por
y2 = y1 integral e^-integral P(x),dxy1^2,dx
Aqui
-integral P(x),dx = -integral l(-tfrac1xr),dx = integral tfrac1x,dx = ln x
e portanto
e^-integral P(x),dx = e^ln x = x
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y2 = cos(x^2) integral xcos^2(x^2),dx = cos(x^2) integral xsec^2(x^2),dx

Passo 4

Para calcular
integral xsec^2(x^2),dx
vamos usar a substituição u = x^2 ⇒ du = 2x,dx ⇒ x,dx = du/2. Assim:
integral xsec^2(x^2),dx = 12 integral sec^2(u),du = 12 tan(u) + C = 12 tan(x^2) + C
Então
y2 = cos(x^2) cdot 12 tan(x^2) = 12 sin(x^2)
Como multiplicar por constante não muda independência, podemos escolher y₂(x)=sin(x^2).

Passo 5

Com as duas soluções independentes y₁=cos(x^2) e y₂=sin(x^2), a solução geral é
y(x) = C1cos(x^2) + C2sin(x^2),
onde C₁ e C₂ são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos\bigl(x{2}\bigr)+C_{2}\sin\bigl(x{2}\bigr)

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