1. Verifique que a mudança de coordenadas T:(xi, eta)=(x+c t, x-c t) transforma a equação de ondas ut t-c^2 ux x=0, c>0, na equação simplificada uxi eta=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob a mudança de variáveis
xi = x + c,t e eta = x - c,t,
a equação de ondas
ut t - c^2,ux x = 0
se reduz à forma simplificada
uxieta = 0
Vamos usar a regra da cadeia para reescrever ux, ut, uxx e utt em termos de derivadas mistas em xi,eta.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para derivadas de primeira ordem, temos
ux = uxi,partial xipartial x + ueta,partial etapartial x = uxi + ueta,
ut = uxi,partial xipartial t + ueta,partial etapartial t = c,uxi - c,ueta
Para as segundas derivadas, derivamos novamente em cada variável:
uxx = partialpartial x(uxi + ueta) = uxixi + 2,uxieta + uetaeta,
utt = partialpartial t(c,uxi - c,ueta) = c^2,uxixi - 2,c^2,uxieta + c^2,uetaeta

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação de ondas:
utt - c^2uxx = l[c^2(uxixi - 2uxieta + uetaeta)r] - c^2l(uxixi + 2uxieta + uetaetar) = -4,c^2,uxieta
Logo, a equação utt-c^2uxx=0 vira
-4,c^2,uxieta=0 Longrightarrow uxieta=0

Resposta

uxieta = 0

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