Uma partícula se move obedecendo a função
, onde de
é dado em metros et em segundos.
Determine:
a) A velocidade escalar da partícula em
b) A aceleração escalar da partícula no instante
a) A velocidade escalar da partícula em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move de acordo com a função
, onde
está em metros e
em segundos. O que a gente precisa descobrir aqui são duas coisas:
a) A velocidade escalar da partícula no instante
segundo.
b) A aceleração escalar da partícula em qualquer instante
.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculos de derivadas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a encontrar a taxa de variação de uma função. Então, bora lá passo a passo!
Passo 2
Parte a) Encontrar a velocidade escalar em
segundo
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de uma partícula é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Então, vamos derivar a função
para encontrar
.
Passo 2.1: Derivando
A função dada é:
Vamos derivar cada termo separadamente:
- A derivada de
é (usando a regra da potência: ). - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de uma constante, como
, é .
Então, juntando tudo:
Passo 2.2: Calculando
Agora que temos a expressão para
, vamos substituir
segundo:
Então, a velocidade escalar da partícula em
segundo é de 9 metros por segundo.
Passo 3
Parte b) Encontrar a aceleração escalar em qualquer instante
A aceleração da partícula é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Já que encontramos
, vamos derivar isso para achar
.
Passo 3.1: Derivando
Vamos derivar cada termo de
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a aceleração é:
Isso significa que a aceleração da partícula em qualquer instante
é dada por
metros por segundo ao quadrado.
Resposta
a) A velocidade escalar da partícula em
segundo é de 9 m/s.
b) A aceleração escalar da partícula no instante
é
.