Uma partícula se move obedecendo a função x(t)=3 t^3-t^2+2 t+1, onde de x é dado em metros et em segundos.
Determine:
a) A velocidade escalar da partícula em t=1 s
l x(t)=3 t^3-t^2+2 t+1 v(t)=x^prime(t)=9 t^2-2 t+2
V(1)=9|1|^2-2|1|+2=9 m / s Vidode
b) A aceleração escalar da partícula no instante t
a|t|=v^prime(t)=18 t-2 m / s^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move de acordo com a função x(t) = 3t^3 - t^2 + 2t + 1 , onde x está em metros e t em segundos. O que a gente precisa descobrir aqui são duas coisas:
a) A velocidade escalar da partícula no instante t = 1 segundo.
b) A aceleração escalar da partícula em qualquer instante t .
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculos de derivadas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a encontrar a taxa de variação de uma função. Então, bora lá passo a passo!

Passo 2

Parte a) Encontrar a velocidade escalar em t = 1 segundo
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de uma partícula é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dx(t)dt
Então, vamos derivar a função x(t) para encontrar v(t) .
Passo 2.1: Derivando x(t)
A função dada é:
x(t) = 3t^3 - t^2 + 2t + 1
Vamos derivar cada termo separadamente:
  • A derivada de 3t^3 é 9t^2 (usando a regra da potência: d(t^n)/dt = n t^n-1 ).
  • A derivada de -t^2 é -2t .
  • A derivada de 2t é 2 .
  • A derivada de uma constante, como 1 , é 0 .
Então, juntando tudo:
v(t) = 9t^2 - 2t + 2
Passo 2.2: Calculando v(1)
Agora que temos a expressão para v(t) , vamos substituir t = 1 segundo:
v(1) = 9(1)^2 - 2(1) + 2 = 9 - 2 + 2 = 9 m/s
Então, a velocidade escalar da partícula em t = 1 segundo é de 9 metros por segundo.

Passo 3

Parte b) Encontrar a aceleração escalar em qualquer instante t
A aceleração da partícula é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Já que encontramos v(t) = 9t^2 - 2t + 2 , vamos derivar isso para achar a(t) .
Passo 3.1: Derivando v(t)
Vamos derivar cada termo de v(t) :
  • A derivada de 9t^2 é 18t .
  • A derivada de -2t é -2 .
  • A derivada de 2 é 0 .
Então, a aceleração é:
a(t) = 18t - 2
Isso significa que a aceleração da partícula em qualquer instante t é dada por 18t - 2 metros por segundo ao quadrado.

Resposta

a) A velocidade escalar da partícula em t = 1 segundo é de 9 m/s.
b) A aceleração escalar da partícula no instante t é a(t) = 18t - 2 m/s^2 .

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