Considere a função
Ache os pontos do gráfico
nos quais o plano tangente ao gráfico é perpendicular à reta de equações paramétricas
Passo 1
A gente quer achar os pontos do gráfico da superfície S definida por z = f(x,y) onde o plano tangente é perpendicular à reta r cuja equação paramétrica é x=1+t, y=-2t, z=3t+1. O conteúdo-chave é usar o fato de que o vetor normal ao plano tangente em um ponto (x,y,f(x,y)) é paralelo ao vetor diretor da reta para que o plano seja perpendicular a ela.
Passo 2
Definimos G(x,y,z)=z−f(x,y), pois a superfície é dada por G=0. Então o vetor normal ao plano tangente em (x,y,z) é ∇G(x,y,z)=(-f_x(x,y), -f_y(x,y), 1). A reta r tem vetor diretor v=(1, -2, 3). Impondo perpendicularidade, devemos ter ∇G=λv para algum escalar λ.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais: f_x(x,y)=2x+y e f_y(x,y)=x−2y. Logo ∇G=(- (2x+y), - (x−2y), 1).
Passo 4
Da condição ∇G=λ(1,-2,3) obtemos o sistema:
- (2x+y)=λ
- (x−2y) = -2λ
1 = 3λ
Da terceira equação vem λ=1/3.
Passo 5
Substituindo λ=1/3 nas duas primeiras igualdades temos:
2x+y = -1/3
x−2y = 2/3
Resolvendo esse sistema linear, por exemplo multiplicando a segunda por 2 e subtraindo da primeira, encontramos x=0 e y=−1/3.
2x+y = -1/3
x−2y = 2/3
Resolvendo esse sistema linear, por exemplo multiplicando a segunda por 2 e subtraindo da primeira, encontramos x=0 e y=−1/3.
Passo 6
Finalmente, como z deve satisfazer z=f(x,y), calculamos
z = f(0, -1/3) = 0^2 + 0·(-1/3) - (-1/3)^2 = -1/9.
Portanto, o ponto no gráfico é (0, -1/3, -1/9).
z = f(0, -1/3) = 0^2 + 0·(-1/3) - (-1/3)^2 = -1/9.
Portanto, o ponto no gráfico é (0, -1/3, -1/9).
Resposta
(0, -1/3, -1/9)