[2,5 pts] Considere a função
f(x, y)=x^2+x y-y^2
Ache os pontos do gráfico S: z=f(x, y) nos quais o plano tangente ao gráfico é perpendicular à reta de equações paramétricas
r: x(t)=1+t, y(t)=-2 t e z(t)=3 t+1

Passo 1

A gente quer achar os pontos do gráfico da superfície S definida por z = f(x,y) onde o plano tangente é perpendicular à reta r cuja equação paramétrica é x=1+t, y=-2t, z=3t+1. O conteúdo-chave é usar o fato de que o vetor normal ao plano tangente em um ponto (x,y,f(x,y)) é paralelo ao vetor diretor da reta para que o plano seja perpendicular a ela.

Passo 2

Definimos G(x,y,z)=z−f(x,y), pois a superfície é dada por G=0. Então o vetor normal ao plano tangente em (x,y,z) é ∇G(x,y,z)=(-f_x(x,y), -f_y(x,y), 1). A reta r tem vetor diretor v=(1, -2, 3). Impondo perpendicularidade, devemos ter ∇G=λv para algum escalar λ.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais: f_x(x,y)=2x+y e f_y(x,y)=x−2y. Logo ∇G=(- (2x+y), - (x−2y), 1).

Passo 4

Da condição ∇G=λ(1,-2,3) obtemos o sistema:
  • (2x+y)=λ
  • (x−2y) = -2λ
    1 = 3λ
    Da terceira equação vem λ=1/3.

Passo 5

Substituindo λ=1/3 nas duas primeiras igualdades temos:
2x+y = -1/3
x−2y = 2/3
Resolvendo esse sistema linear, por exemplo multiplicando a segunda por 2 e subtraindo da primeira, encontramos x=0 e y=−1/3.

Passo 6

Finalmente, como z deve satisfazer z=f(x,y), calculamos
z = f(0, -1/3) = 0^2 + 0·(-1/3) - (-1/3)^2 = -1/9.
Portanto, o ponto no gráfico é (0, -1/3, -1/9).

Resposta

(0, -1/3, -1/9)

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