Determine os intervalos da reta real associados aos conjuntos:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, em cada caso, o conjunto imagem na reta real de uma função
cujo domínio é dado em termos de
. Para resolver, vamos usar a definição de imagem e, quando necessário, o fato de que funções monotônicas (como
em
ou
) transportam intervalos em intervalos de forma direta.
Passo 2
Para (a), temos
com
. Na parte positiva,
é crescente em
. Logo, quando
vai de
(não incluso) até
(não incluso),
vai de
(até mas sem incluir) até
(sem incluir). Portanto o intervalo imagem é
.
Passo 3
Em (b),
com
. A raiz quadrada é crescente em
. Assim,
parte de
(incluído) até
(não incluído), e
parte de
(incluído) até
(não incluído). Logo o intervalo é
.
Passo 4
No item (c),
com
. A função quadrado atinge todos os valores não negativos, pois
para todo
, e para cada
existe
. Portanto a imagem é
.
Passo 5
Para (d),
com
. A cúbica é uma bijeção de
em
, ou seja, atinge todos os reais. Logo a imagem é
.
Passo 6
Em (e),
com
. Como multiplicação por
preserva ordem e intervalos, basta multiplicar os extremos:
E ambos os extremos são incluídos, dando
.
Passo 7
No item (f), o conjunto é
. Isso exige simultaneamente
e
, o que não é possível para nenhum real. Portanto é o conjunto vazio
.
Passo 8
Finalmente, em (g),
significa
isto é, o intervalo
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)