Determine os intervalos da reta real associados aos conjuntos:
(a) x mid x=y^2, y in R, 0<y<2
(b) x mid x=raizy, y in R, 0 <= y<9
(c) x mid x=y^2, y in R
(d) x mid x=y^3, y in R
(e) x mid x=2 y, y in R,-3 <= y <= 2
(f) x mid x in R,-3>x>2
(g) x mid x in R, 1 >= x>-3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, em cada caso, o conjunto imagem na reta real de uma função x=f(y) cujo domínio é dado em termos de y. Para resolver, vamos usar a definição de imagem e, quando necessário, o fato de que funções monotônicas (como ymapsto y^2 em [0,infty) ou ymapstoraiz y) transportam intervalos em intervalos de forma direta.

Passo 2

Para (a), temos x=y^2 com 0<y<2. Na parte positiva, y^2 é crescente em y>=0. Logo, quando y vai de 0 (não incluso) até 2 (não incluso), x vai de
0^2 = 0
(até mas sem incluir) até
2^2 = 4
(sem incluir). Portanto o intervalo imagem é (0,4).

Passo 3

Em (b), x=raiz y com 0 <= y <9. A raiz quadrada é crescente em [0,infty). Assim, y parte de 0 (incluído) até 9 (não incluído), e x parte de
raiz0=0
(incluído) até
raiz9=3
(não incluído). Logo o intervalo é [0,3).

Passo 4

No item (c), x=y^2 com yinR. A função quadrado atinge todos os valores não negativos, pois y^2>=0 para todo y, e para cada x>=0 existe y=pmraiz x. Portanto a imagem é [0,infty).

Passo 5

Para (d), x=y^3 com yinR. A cúbica é uma bijeção de R em R, ou seja, atinge todos os reais. Logo a imagem é (-infty,infty).

Passo 6

Em (e), x=2y com -3<= y<=2. Como multiplicação por 2>0 preserva ordem e intervalos, basta multiplicar os extremos:
2cdot(-3)=-6, 2cdot2=4
E ambos os extremos são incluídos, dando [-6,4].

Passo 7

No item (f), o conjunto é xmid xinR,,-3>x>2. Isso exige simultaneamente x< -3 e x>2, o que não é possível para nenhum real. Portanto é o conjunto vazio emptyset.

Passo 8

Finalmente, em (g), xmid xinR,,1>= x>-3 significa
-3 < x <= 1,
isto é, o intervalo (-3,1].

Resposta

(a) (0,4)
(b) [0,3)
(c) [0,infty)
(d) (-infty,infty)
(e) [-6,4]
(f) emptyset
(g) (-3,1]

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